Да ли би се ток историје математике променио да се Гаус није плашио узрујане стручне јавности?
Текст: Слађана Шимрак
„Слободно смем да тврдим да је лакше било зауставити Сунце, да је лакше било покренути Земљу, него смањити збир углова у троуглу, довести паралеле до приближавања и раздвојити нормале на правој да се разилазе“, говорио је руски професор математике Вењамин Фјородович Каган.
И заиста, математичари су кроз историју константно преиспитивали свој став по овим питањима. У једном запису помиње се како је Лагранж у старости припремио расправу о паралелама, међутим излагање је завршио већ на почетку, речима: „Морам још о томе да размислим“.
Карл Фридрих Гаус, водећи математички ум 19. века, који је такође извео неколико закључака о теорији паралелности, о новој геометрији мимо еуклидске, био је на великом опрезу када се радило о овој теми. Штавише, устручавао се да о томе јавно говори, па чак и да подржава друге који су се бавили питањем Еуклидовог постулата паралелности. У једном писму, Гаус каже: „Бојим се повика Беоћана који ће се подићи када објавим своје погледе у целини.“ Да ли би се ток историје математике променио да се Гаус није плашио узрујане стручне јавности која не би могла разумети нови геометријски свемир? Пре свега, о каквој се геометрији радило?
Читавих две хиљаде година уназад, једини геометријски ауторитет на сцени представљало је дело које је Еуклид објавио у тринаест књига, обједињених под насловом Елементи. У овом великом уџбенику садржана је само елементарна геометрија, без материјала више геометрије, али о којој је Еуклид такође писао у посебним трактатима. Стога је геометрија дата у Елементима популарно названа елементарном, односно еуклидском. Заснована је на аксиомама и постулатима, укупно њих четрнаест.
Пети постулат
Дедуктивне методе изнете у Елементима дуго су сматране скоро јединим методом излагања свих наука. Спиноза је, на пример, пишући своју Етику, позајмио овај облик излагања од Еуклида. Премда за данашњи математички апарат овакви приступи имају недостатке, и даље су узор научне строгости када је реч о школским предавањима, где се сматрају приступачнијим за млађи узраст у поређењу са савременим, аксиоматским. Ова непрецизност не умањује значај Елемената, њихова вредност је свакако неупитна.
На темељима Елемената, Исак Њутн је изградио класичну механику. Многи филозофи су прогласили Елементе непогрешивим учењем о реалном свету, међутим, домет науке тог времена утицао је на стварање одређених пропуста овог дела. Поред покушаја да се дефинишу тачка, права и раван које се данас сматрају основним појмовима, можда најпознатији запис око којег се расправљало био је пети постулат у низу.
Зашто пети постулат? Пре свега, он каже: „Нека се претпостави да ће се, ако једна права у пресеку са другим двема образује са исте стране два унутрашња угла чији је збир мањи од два права угла, те две праве, бескрајно продужене, сећи и то са оне стране са које су ови углови мањи од два права.“
Познаваоци Еуклидовог дела сматрали су да би пети постулат требало да се дедукује из осталих аксиома и да не треба пристати на то да он буде један од основних ставова. Општи утисак је и да га је Еуклид нерадо увео као постулат, након више покушаја да га избегне, односно докаже.
Недоумице у вези са петим постулатом резултирале су проучавањем дугим две хиљаде година, током којих су га третирали као недоказиву теорему. Јер, на који год начин би покушали да га изведу из осталих аксиома, математичари би упадали у зачарани круг где би га заправо доказивали помоћу самог себе.
У чврстом веровању у непогрешивост Елемената, многи су се упуштали у трагање за доказом петог постулата. Међу њима је био монах Ђовано Сакери који 1733. године пише расправу под називом „Еуклид очишћен од свих мрља“, међутим, не успева у намери. Нешто касније, храбрије од Сакерија иступа швајцарски научник Јохан Хајнрих Ламберт долазећи до значајних закључака који су тек шездесет година касније доказани, али ни он не даје одговор на питање може ли се доказати пети постулат.
Спаљене брошуре
Но, вратимо се Гаусу, првом из „светог тројства“ нееуклидске геометрије. Као научном ауторитету тог времена, већ почетком 19. века јављали су му се многи математичари са одређеним запажањима везаним за могућу нову геометрију која би изоставила пети постулат.
Професор Фердинанд Карл Швајкарт у писму Гаусу закључује да постоји двојака геометрија и да је еуклидска геометрија специјалан случај друге геометрије и да важи када је одређена константа бесконачна. Међутим, Гаус није подржао ове резултате, управо се бојећи да их научна заједница неће схватити, те да ће његов ауторитет тиме бити подривен.
Швајкартову идеју даље је развијао његов рођак Тауринус у делу Теорија паралелних линија. Он се такође обраћа Гаусу, међутим, од њега не добија подстицај за даљи рад. „За човека који је испољио велики математички ум, ја се не бојим да ће погрешно разумети горе изложено (програмска питања нееуклидске геометрије); али ви у сваком случају морате на то да гледате као на личну информацију, која уопште не треба да буде објављена.“
Међутим, Тауринус је био упоран у изношењу својих погледа у јавност, што је резултирало Гаусовом љутњом и прекидом сваког контакта. Тауринус је потом, у стању душевне неуравнотежености, спалио своје брошуре и опростио се од науке.
Гаус се, ипак, сматра првим који је схватио далекосежност ове геометрије. Такође, у разним писмима која су пронађена и објављена након његове смрти, он даје изузетно високу оцену радовима Швајкарта и Тауринуса, али највећу даје резултатима које су постизали руски научник Николај Лобачевски и млади мађарски математичар Јанош Бољај. Њих двојица ће у будућности управо представљати остатак „светог тројства“ нееуклидске геометрије. Ипак, сваком од њих Гаус је, за живота, давао исти одговор.
Упорно ћутање
Син Гаусовог колеге, професора Фаркаша Бољаја, био је сушта супротност овој суздржаној природи. Након што је Гаус игнорисао његову молбу да га приме на студије математике, млади Јанош Бољај уписао је војно-инжењерску школу у Бечу. Међутим, према овој каријери је био потпуно равнодушан и за време боравка у школи у потпуности се посветио доказивању петог постулата.
Наишао је на оштро очево неодобравање који му је, у једном писму, рекао: „Ти не смеш да покушаваш да савладаш теорију паралелних линија тим путем; ја добро познајем тај пут, прошао сам га целог, проживео сам ту ноћ без иједног светла и сваку светлост, сваку радост свог живота у њој сам сахранио. Молим те да се оканеш учења о паралелним линијама; треба да га се чуваш као чулних заноса; оно ће те лишити здравља, слободног времена, мира – оно ће ти убити сваку радост живота. Та црна помрчина без иједног светла може да прогута хиљаду Њутнових кула и никада се на земљи неће разведрити; никада несрећни људски род неће сазнати праву истину – чак ни у геометрији.“
Када је Јанош Бољај свом оцу неколико година касније саопштио да је савладао елементе нове геометрије овај му је, напокон, изашао у сусрет и пристао да их објави као додатак у свом делу Тентамен које је спремао за штампу. Међутим, није разумео ни реч у раду свог сина. Сажето дело младог Јаноша под називом Appendix (лат. прилог) објављено је по договору, али стручна јавност такође није разумела његов језик.
Коначно, дело је послато Гаусу који је у свом демотивационом маниру одговорио, сматрајући да је он до тих резултата и сам дошао, али и да му је драго што га је у уобличавању идеја на папиру предухитрио син старог пријатеља. Јанош Бољај, за разлику од оца, није био задовољан одговором и Гаусовом сујетом коју је наслућивао, па је ово резултирало значајним захлађивањем односа између два Бољаја, математичара.
И, захваљујући Гаусовом упорном ћутању, Јанош Бољај дуго по објављивању прилога, није знао да је један математичар напредовао више и комплетније по питању ове теме. Николај Лобачевски, руски математичар који је касније назван Коперником геометрије, први је доказао да пети постулат не може да се докаже помоћу осталих аксиома еуклидске геометрије, а затим из тога извео потпуно нову геометрију.
Успорени развој
Лобачевски је у почетку разрађивао апсолутну геометрију која не претпоставља пети постулат, а потом је развио геометрију на основу апсолутне, ако јој се дода негирање петог постулата. Назвао је имагинарном геометријом. Академици нису били задовољни овим нарушавањем математичког раја. Михаил Остроградски написао је оштру, негативну рецензију његових радова што је довело до јавног понижења Николаја Лобачевског.
Анонимни аутори једног часописа објавили су текст у којем ова дела називају сатиром о геометрији, односно карикатуром геометрије у којој не виде нити здрав разум, нити таленат. Међутим, Лобачевски је наставио са истраживањем, а ускоро је стигла и Гаусова реакција из Немачке. Обазрива, шкрта на похвалама, налик оној коју је упутио Бољају.
Лобачевски је, као и Бољај, тек након смрти добио признање за свој рад. Њихове резултате касније су унапређивали Давид Хилберт, Феликс Клајн, а највише Бернхард Риман, на чијим идејама је Алберт Ајнштајн касније засновао теорију релативности. Данас је имагинарна геометрија нашла своју примену и у теорији функција комплексне променљиве која представља основу савремене хидродинамике, аеродинамике и теорије еластичности, а још је Лобачевски тестирао као могући модел геометрије универзума.
Многи аутори закључују да је Гаус у великој мери успорио развој нееуклидске геометрије. Међутим, знање које се развијало тешко да је могло остати сакривено на дуже стазе, нарочито узевши у обзир да је чак и он, бавећи се геометријом деценијама, о томе ипак говорио у неким приватним преписакама. Али, његова јавна подршка новим идејама би, засигурно, ублажила конзервативне погледе других академика и представљала велики корак у борби против учмалости у науци. Важније, признавање нееуклидске геометрије десило би се много раније.