Da li bi se tok istorije matematike promenio da se Gaus nije plašio uzrujane stručne javnosti?
Tekst: Slađana Šimrak
„Slobodno smem da tvrdim da je lakše bilo zaustaviti Sunce, da je lakše bilo pokrenuti Zemlju, nego smanjiti zbir uglova u trouglu, dovesti paralele do približavanja i razdvojiti normale na pravoj da se razilaze“, govorio je ruski profesor matematike Venjamin Fjorodovič Kagan.
I zaista, matematičari su kroz istoriju konstantno preispitivali svoj stav po ovim pitanjima. U jednom zapisu pominje se kako je Lagranž u starosti pripremio raspravu o paralelama, međutim izlaganje je završio već na početku, rečima: „Moram još o tome da razmislim“.
Karl Fridrih Gaus, vodeći matematički um 19. veka, koji je takođe izveo nekoliko zaključaka o teoriji paralelnosti, o novoj geometriji mimo euklidske, bio je na velikom oprezu kada se radilo o ovoj temi. Štaviše, ustručavao se da o tome javno govori, pa čak i da podržava druge koji su se bavili pitanjem Euklidovog postulata paralelnosti. U jednom pismu, Gaus kaže: „Bojim se povika Beoćana koji će se podići kada objavim svoje poglede u celini.“ Da li bi se tok istorije matematike promenio da se Gaus nije plašio uzrujane stručne javnosti koja ne bi mogla razumeti novi geometrijski svemir? Pre svega, o kakvoj se geometriji radilo?
Čitavih dve hiljade godina unazad, jedini geometrijski autoritet na sceni predstavljalo je delo koje je Euklid objavio u trinaest knjiga, objedinjenih pod naslovom Elementi. U ovom velikom udžbeniku sadržana je samo elementarna geometrija, bez materijala više geometrije, ali o kojoj je Euklid takođe pisao u posebnim traktatima. Stoga je geometrija data u Elementima popularno nazvana elementarnom, odnosno euklidskom. Zasnovana je na aksiomama i postulatima, ukupno njih četrnaest.
Peti postulat
Deduktivne metode iznete u Elementima dugo su smatrane skoro jedinim metodom izlaganja svih nauka. Spinoza je, na primer, pišući svoju Etiku, pozajmio ovaj oblik izlaganja od Euklida. Premda za današnji matematički aparat ovakvi pristupi imaju nedostatke, i dalje su uzor naučne strogosti kada je reč o školskim predavanjima, gde se smatraju pristupačnijim za mlađi uzrast u poređenju sa savremenim, aksiomatskim. Ova nepreciznost ne umanjuje značaj Elemenata, njihova vrednost je svakako neupitna.
Na temeljima Elemenata, Isak Njutn je izgradio klasičnu mehaniku. Mnogi filozofi su proglasili Elemente nepogrešivim učenjem o realnom svetu, međutim, domet nauke tog vremena uticao je na stvaranje određenih propusta ovog dela. Pored pokušaja da se definišu tačka, prava i ravan koje se danas smatraju osnovnim pojmovima, možda najpoznatiji zapis oko kojeg se raspravljalo bio je peti postulat u nizu.
Zašto peti postulat? Pre svega, on kaže: „Neka se pretpostavi da će se, ako jedna prava u preseku sa drugim dvema obrazuje sa iste strane dva unutrašnja ugla čiji je zbir manji od dva prava ugla, te dve prave, beskrajno produžene, seći i to sa one strane sa koje su ovi uglovi manji od dva prava.“
Poznavaoci Euklidovog dela smatrali su da bi peti postulat trebalo da se dedukuje iz ostalih aksioma i da ne treba pristati na to da on bude jedan od osnovnih stavova. Opšti utisak je i da ga je Euklid nerado uveo kao postulat, nakon više pokušaja da ga izbegne, odnosno dokaže.
Nedoumice u vezi sa petim postulatom rezultirale su proučavanjem dugim dve hiljade godina, tokom kojih su ga tretirali kao nedokazivu teoremu. Jer, na koji god način bi pokušali da ga izvedu iz ostalih aksioma, matematičari bi upadali u začarani krug gde bi ga zapravo dokazivali pomoću samog sebe.
U čvrstom verovanju u nepogrešivost Elemenata, mnogi su se upuštali u traganje za dokazom petog postulata. Među njima je bio monah Đovano Sakeri koji 1733. godine piše raspravu pod nazivom „Euklid očišćen od svih mrlja“, međutim, ne uspeva u nameri. Nešto kasnije, hrabrije od Sakerija istupa švajcarski naučnik Johan Hajnrih Lambert dolazeći do značajnih zaključaka koji su tek šezdeset godina kasnije dokazani, ali ni on ne daje odgovor na pitanje može li se dokazati peti postulat.
Spaljene brošure
No, vratimo se Gausu, prvom iz „svetog trojstva“ neeuklidske geometrije. Kao naučnom autoritetu tog vremena, već početkom 19. veka javljali su mu se mnogi matematičari sa određenim zapažanjima vezanim za moguću novu geometriju koja bi izostavila peti postulat.
Profesor Ferdinand Karl Švajkart u pismu Gausu zaključuje da postoji dvojaka geometrija i da je euklidska geometrija specijalan slučaj druge geometrije i da važi kada je određena konstanta beskonačna. Međutim, Gaus nije podržao ove rezultate, upravo se bojeći da ih naučna zajednica neće shvatiti, te da će njegov autoritet time biti podriven.
Švajkartovu ideju dalje je razvijao njegov rođak Taurinus u delu Teorija paralelnih linija. On se takođe obraća Gausu, međutim, od njega ne dobija podsticaj za dalji rad. „Za čoveka koji je ispoljio veliki matematički um, ja se ne bojim da će pogrešno razumeti gore izloženo (programska pitanja neeuklidske geometrije); ali vi u svakom slučaju morate na to da gledate kao na ličnu informaciju, koja uopšte ne treba da bude objavljena.“
Međutim, Taurinus je bio uporan u iznošenju svojih pogleda u javnost, što je rezultiralo Gausovom ljutnjom i prekidom svakog kontakta. Taurinus je potom, u stanju duševne neuravnoteženosti, spalio svoje brošure i oprostio se od nauke.
Gaus se, ipak, smatra prvim koji je shvatio dalekosežnost ove geometrije. Takođe, u raznim pismima koja su pronađena i objavljena nakon njegove smrti, on daje izuzetno visoku ocenu radovima Švajkarta i Taurinusa, ali najveću daje rezultatima koje su postizali ruski naučnik Nikolaj Lobačevski i mladi mađarski matematičar Janoš Boljaj. Njih dvojica će u budućnosti upravo predstavljati ostatak „svetog trojstva“ neeuklidske geometrije. Ipak, svakom od njih Gaus je, za života, davao isti odgovor.
Uporno ćutanje
Sin Gausovog kolege, profesora Farkaša Boljaja, bio je sušta suprotnost ovoj suzdržanoj prirodi. Nakon što je Gaus ignorisao njegovu molbu da ga prime na studije matematike, mladi Janoš Boljaj upisao je vojno-inženjersku školu u Beču. Međutim, prema ovoj karijeri je bio potpuno ravnodušan i za vreme boravka u školi u potpunosti se posvetio dokazivanju petog postulata.
Naišao je na oštro očevo neodobravanje koji mu je, u jednom pismu, rekao: „Ti ne smeš da pokušavaš da savladaš teoriju paralelnih linija tim putem; ja dobro poznajem taj put, prošao sam ga celog, proživeo sam tu noć bez ijednog svetla i svaku svetlost, svaku radost svog života u njoj sam sahranio. Molim te da se okaneš učenja o paralelnim linijama; treba da ga se čuvaš kao čulnih zanosa; ono će te lišiti zdravlja, slobodnog vremena, mira – ono će ti ubiti svaku radost života. Ta crna pomrčina bez ijednog svetla može da proguta hiljadu Njutnovih kula i nikada se na zemlji neće razvedriti; nikada nesrećni ljudski rod neće saznati pravu istinu – čak ni u geometriji.“
Kada je Janoš Boljaj svom ocu nekoliko godina kasnije saopštio da je savladao elemente nove geometrije ovaj mu je, napokon, izašao u susret i pristao da ih objavi kao dodatak u svom delu Tentamen koje je spremao za štampu. Međutim, nije razumeo ni reč u radu svog sina. Sažeto delo mladog Janoša pod nazivom Appendix (lat. prilog) objavljeno je po dogovoru, ali stručna javnost takođe nije razumela njegov jezik.
Konačno, delo je poslato Gausu koji je u svom demotivacionom maniru odgovorio, smatrajući da je on do tih rezultata i sam došao, ali i da mu je drago što ga je u uobličavanju ideja na papiru preduhitrio sin starog prijatelja. Janoš Boljaj, za razliku od oca, nije bio zadovoljan odgovorom i Gausovom sujetom koju je naslućivao, pa je ovo rezultiralo značajnim zahlađivanjem odnosa između dva Boljaja, matematičara.
I, zahvaljujući Gausovom upornom ćutanju, Janoš Boljaj dugo po objavljivanju priloga, nije znao da je jedan matematičar napredovao više i kompletnije po pitanju ove teme. Nikolaj Lobačevski, ruski matematičar koji je kasnije nazvan Kopernikom geometrije, prvi je dokazao da peti postulat ne može da se dokaže pomoću ostalih aksioma euklidske geometrije, a zatim iz toga izveo potpuno novu geometriju.
Usporeni razvoj
Lobačevski je u početku razrađivao apsolutnu geometriju koja ne pretpostavlja peti postulat, a potom je razvio geometriju na osnovu apsolutne, ako joj se doda negiranje petog postulata. Nazvao je imaginarnom geometrijom. Akademici nisu bili zadovoljni ovim narušavanjem matematičkog raja. Mihail Ostrogradski napisao je oštru, negativnu recenziju njegovih radova što je dovelo do javnog poniženja Nikolaja Lobačevskog.
Anonimni autori jednog časopisa objavili su tekst u kojem ova dela nazivaju satirom o geometriji, odnosno karikaturom geometrije u kojoj ne vide niti zdrav razum, niti talenat. Međutim, Lobačevski je nastavio sa istraživanjem, a uskoro je stigla i Gausova reakcija iz Nemačke. Obazriva, škrta na pohvalama, nalik onoj koju je uputio Boljaju.
Lobačevski je, kao i Boljaj, tek nakon smrti dobio priznanje za svoj rad. Njihove rezultate kasnije su unapređivali David Hilbert, Feliks Klajn, a najviše Bernhard Riman, na čijim idejama je Albert Ajnštajn kasnije zasnovao teoriju relativnosti. Danas je imaginarna geometrija našla svoju primenu i u teoriji funkcija kompleksne promenljive koja predstavlja osnovu savremene hidrodinamike, aerodinamike i teorije elastičnosti, a još je Lobačevski testirao kao mogući model geometrije univerzuma.
Mnogi autori zaključuju da je Gaus u velikoj meri usporio razvoj neeuklidske geometrije. Međutim, znanje koje se razvijalo teško da je moglo ostati sakriveno na duže staze, naročito uzevši u obzir da je čak i on, baveći se geometrijom decenijama, o tome ipak govorio u nekim privatnim prepisakama. Ali, njegova javna podrška novim idejama bi, zasigurno, ublažila konzervativne poglede drugih akademika i predstavljala veliki korak u borbi protiv učmalosti u nauci. Važnije, priznavanje neeuklidske geometrije desilo bi se mnogo ranije.