Nova Biblioteka donosi zabavnu priču koja obiluje matematikom, a među temama su Gedelova teorema, transfinitni brojevi, Rimanova hipoteza, Konvejeva „igra života“, Pitagorina analiza prijatnih muzičkih tonova, logički paradoksi…
Tekst: Skarlet Tomas (odlomak iz knjige PopCo; Heliks, 2015)
Napred pored Meka stoji još neko. Mislim da se dotični zove Mark Blekmen, pošto to ime piše na tabli iza njega. Stariji je od svih dosadašnjih predavača i ima zalizanu prosedu kosu i naočare s crnim okvirom. Obučen je prilično ekscentrično: žaket od tvida, žuta kravata i farmerke.
„Zdravo“, kaže ustajući. „Pošto me je gospodin Mekdonald već ovako lepo predstavio, neću trošiti više vremena na to. Jedino što bih mogao da dodam je da imam Erdešev broj 3. Da li neko zna ko je Pal Erdeš“? Izgovara tačno: er-deš.
Dižem ruku. „Mađarski matematičar“, kažem kad klimne ka meni.
„Hvala. A znate li šta označava Erdešev broj 3“?
„Da ste napisali rad sa nekim ko je pisao rad sa nekim ko je pisao rad sa Palom Erdešem“, objašnjavam.
„Vrlo dobro. Da li ste vi matematičarka?“
Čujem da Den na sedištu iza stenje od smeha.
„Baka mi je bila matematičarka“, kažem. „Imala je Erdešev broj 2.“
„Au!“ Deluje impresionirano. „Da li još neko zna o čemu govorimo?“
Osvrćem se po sobi. Ruke su podigli Kiran, Grejs, Ričard i plavuša koju sam videla da visi s Kiranom i radi ili u odeljenju za video igre ili u Kiranovom čudnom timu.
„Dobro, hvala“, kaže Blekmen. „Možete da spustite ruke. Razgovaraćemo o mrežama. Ako želite da osvojite svet nekim nesumnjivo besmislenim plastičnim proizvodom, kao što kaže gospodin Mekdonald, neophodno je da shvatite teoriju mreža. Potrebno je da shvatite kako vaša igračka, vaša bolest ili vaša ideja – princip je isti – danas može biti relativno nepoznata, a onda preko noći postati sveprisutna. Ili ne. Dobro. Zaboravite Erdeša na trenutak. Ko je čuo za filmskog glumca Kevina Bejkona?“ Većina prisutnih diže ruke. „Dobro. Vi, momče, s dugom kosom čudne boje.“
„Ja?“, pita Kiran kezeći se.
„Recite nam nešto o igri Šest stepeni do Kevina Bejkona.“
Kiran lenjo deklamuje. „Šest stepeni do Kevina Bejkona“ ili igra „Kevin Bejkon“ pojavila se, mislim, 1997. Prvobitno ju je smislilo neko univerzitetsko bratstvo koje je pošlo od teorije da je Kevin Bejkon centar filmskog univerzuma, pa je moguće bilo kog glumca iz istorije filma povezati s njim u proseku za manje od četiri koraka. Evo kako to funkcioniše: Ako ste glumili u filmu s Kevinom Bejkonom, imate Bejkonov broj jedan. Ako ste glumili u filmu sa nekim ko je glumio s Bejkonom, vaš Bejkonov broj je dva i tako dalje. Sve to treba da dokaže teoriju Stenlija Milgrama o „šest stepeni razdvojenosti“ – da se svako na svetu može povezati sa svakim drugim u najviše šest koraka. Međutim, u zatvorenoj mreži poput mreže filmskih glumaca, taj broj je znatno manji…“
Blekmen samo što ne prasne u smeh. Gledajući u Meka kaže: „Izgleda da ste mogli da uštedite na mom honoraru i date ga ovom mladiću.“
Mek se smeši. „Kiran ima izvanredan um“, kaže. „Svakako, nastavite. Ovo je fascinantno.“
„Kao što sigurno već svi shvatate, Erdešov broj je isto što i Bejkonov broj, samo što se odnosi na stepene razdvojenosti u mreži matematičara, a ne filmskih glumaca. Naučnici su otkrili da ove mreže, od čega – ili koga – god da se sastoje, odlikuju ista struktura i svojstva. To zovemo „fenomen malog sveta“. I to je zanimljivo pri razmatranju širenja bolesti, proizvoda ili ideja u ovim vrstama mreža.
„Mreža malog sveta definiše se kao grupa koja pokazuje nivo međusobne povezanosti u kojoj se do svakog čvorišta mreže od svakog drugog čvorišta može doći u šest ili manje koraka. I vaša kompanija, Korporacija Pop, nesumnjivo ima odlike mreže malog sveta. Možda i cela industrija igračaka. Otkriveno je da mreže malog sveta postoje i u elektrodistributivnom sistemu Sjedinjenih Država i u neurološkom sistemu mikroskopski sitnog crva zvanog Caenorhabditis elegans. Takođe i na vebu, u metaboličkoj mreži ešerihije koli i mrežama odbora direktora u hiljadu najboljih američkih kompanija prema spisku objavljenom u časopisu Fortune. Bejkonovi i, posebno, Erdešovi brojevi pojavljuju se u grupama koje su svesne sopstvene povezanosti. Erdeš je, inače, za one koji ne znaju, čuveni matematičar i tvorac modela slučajnih veza – koji, slučajno, čini osnovu dobrog dela prvobitnih matematičkih radova u ovoj oblasti istraživanja.“
„Mreže malog sveta moraju da imaju osobenu kombinaciju klastera – recimo, grupa prijatelja u istom gradu ili kolega s posla – i slučajne veze – između vas i vašeg najdaljeg prijatelja ili vas i one osobe iz računovodstva s kojom pušite, verovatno na kiši, ispred zgrade firme. Ove slučajne veze predstavljaju „prečice“ u mreži. Gospodin Mekdonald je važno čvorište u mreži Korporacije Pop, pošto je povezan s mnogo ljudi. On je u tom smislu kao neki veliki aerodrom koji povezuje mnoštvo manjih mesta. Dakle, u stvarnom svetu vi možda ne znate nikoga ko živi u Australiji, ali ja znam. A pošto znate mene, od mog prijatelja iz Australije dele vas samo dva stepena razdvojenosti. Ono što iznenađuje kod ovih naučnih otkrića jeste da samo nekoliko slučajnih veza dovode do povezanosti mreže na taj način da pokazuje svojstva malog sveta. Ne samo što se to, naizgled „prirodno“, dešava u mnogim raznovrsnim tipovima mreža, već je poznata i kritična tačka kada dolazi do ove vrste povezanosti: u matematičkom smislu, ta tačka je ista kao tačka zgušnjavanja polimera ili zaleđivanja vode. Deluje kao prelazna faza i radi se o prirodnoj vrednosti.“
Mark Blekmen pravi dramsku pauzu i okreće se ka beloj tabli. Narednih desetak minuta pokušava da nacrta primere. Ja za to vreme, ne znam zašto, razmišljam o paukovoj mreži. Tik pre nego što mi misli sasvim odlutaju, sabiram se i bacam pogled na tablu. Shvatam da je to uzbudljiva ideja, da neko svojstvo koje nalazite u prirodi – tačka u kojoj jedan objekat postaje neki drugi, kada voda postaje led ili para – kao takvo postoji i u ovoj čudnoj teoriji mreže. Ne shvatam fizičku stranu, ali znam da za takve stvari postoji matematički razlog. Kako to može da važi i za ljude?
Ostali su se potpuno pogubili.
„A šta je prelazna faza?“, pita Ester, klateći se na stolici.
„To je transformacija termodinamičkog sistema iz jedne faze u drugu“, odgovara Blekmen češući se po glavi. „U stvari nema potrebe da to shvatite da biste shvatili teoriju mreže; naprosto je vrlo zanimljivo zapaziti da se mreža menja od stanja nepovezanosti do stanja povezanosti na matematički isti način kao što se, recimo, voda pretvara u led.“
Ester se mršti. „I dalje ne shvatam.“
Kiran se ubacuje. „Sigurno si čula za kritičnu masu? Ili kritičnu tačku?“
„Jesam“, odgovara ona.
„Kada nešto dostigne kritičnu tačku, to nešto postaje nešto drugo, ili eksplodira. Mark nam govori da isto važi i za način na koji smo svi međusobno povezani. Recimo da se preseliš u drugi grad i tamo ne znaš nikoga. Nekoliko nedelja ne znaš nikoga i onda možda upišeš neki kurs. Prvog dana razgovaraš sa nekim ali ta osoba nije najbolje povezana s drugima. Sad znaš tu jednu osobu, ali nisi povezana s još mnogo njih. Polako stičeš prijatelje dok, recimo, ne naiđeš na nekog baš popularnog ko izgleda poznaje sve. Pošto ta osoba poznaje sve, poziva i tebe na svoju zabavu. Tamo upoznaješ još ljudi. Počneš da izlaziš sa nekim tipom koga si tamo upoznala. Otac mu je, recimo, gradonačelnik grada u koji si se preselila. Odjednom si povezana sa dva važna čvorišta u mreži i otkrićeš da te samo par koraka deli od bilo koga u gradu. Trenutak u kome od neznanca postaješ dobro povezana osoba – e, to je faza prelaza.“
„Dobro“, kaže Ester. „Shvatam.“.
Kiran se spusti natrag na stolicu, pomalo poput aparata koji radi kad mu ubacite novčić pa je upravo prestao da radi i čeka da mu ubace još novčića. Blekmen odlaže kredu i opet nam se obraća.
„Ovaj mladić je upravo objasnio“, kaže pokazujući na Kirana, „kako se u mreži pojavljuju prečice. Upravo te prečice pretvaraju obične mreže u fenomen malog sveta. Međutim, mada svi imamo pristup prečicama, izgleda da nam je problem da ih pronađemo. Koliko god da smo u teoriji dobro povezani, teško procenjujemo veze koje prevazilaze lokalni nivo. Ja znam vas, ali ne mogu da znam sve koje vi poznajete. Zasigurno nemam pojma koga sve poznaje vaš drug Sajmon (koga nikada nisam sreo). A ipak me od njegovih prijatelja dele samo tri koraka. Problem nije povezanost već naša sposobnost navigacije mrežom. Stenli Milgram je to uvideo u svom istraživanju malog sveta, kada je nasumično odabrane ljude sa Srednjeg Zapada Sjedinjenih Država zamolio da pokušaju da dostave pismo berzanskom trgovcu iz Bostona, na Istočnoj obali. Nije naveo adresu da bi ih poslali poštom, već je zamolio da proslede pisma ljudima koje poznaju za koje misle da bi možda mogli imati veze s ljudima koji ga poznaju. Milgram jeste dokazao da će pisma na kraju stići do cilja, ali nije najbolje pokazao kako ljudi koriste svoje kontakte.
Dakle, ako to primenimo na vašu želju da raširite upotrebu nekog plastičnog proizvoda među decom celog sveta – što je, siguran sam, hvale vredan cilj – možda ćete morati da se krećete mrežom umesto dece. Da ugradite u proizvod nešto zbog čega će se širiti. Tako funkcionišu bolesti. Možda nikada ne dođete u kontakt sa osobom s četrnaestog sprata firmine zgrade, ali joj bez obzira na to možete preneti svoje bacile. To se zove nesvesno ili automatsko prenošenje i verujem da to odeljenja za marketing žele da ugrade u proizvode za čiju prodaju su zadužena. Naravno da žele! Automatsko prenošenje radi posao umesto njih. Lenja đubrad!
Uzmimo Hotmail. Kad god pošaljete poruku preko Hotmaila, ona stiže s reklamom za Hotmail. Sama poruka je reklama. Proizvod se sam širi. Ili možda relevantniji primer MSN mesendžera koji, verujem, koriste tinejdžeri u celom svetu – moj sin svakako i zbog toga mi uveče zabranjuje pristup mom sopstvenom kompjuteru. Da biste razgovarali s drugim ljudima preko MSN-a, i sami morate da imate MSN tehnologiju. Taj softver promoviše sam sebe!
Cela ta matematička teorija mreža odnosi se i na epidemije bolesti, širenje masovne histerije i slomove i oporavke mrežnih sistema. Zašto je toliko ljudi poludelo za kupovinom lala u Holandiji u sedamnaestom veku, čak su i svoje domove prodavali da bi kupovali lale? Zašto je naizgled racionalne ljude 90-ih ponela dot-com histerija? Izgleda da smo mi u našim mrežama i istovremeno i otporni i podložni „infekcijama“ bolesti i ideja; padu sistema i tako dalje. Međutim, tu važi jedno bitno pravilo: veća je verovatnoća da ćete zaraditi neku bolest ili kupiti određenu knjigu ako ih i svi drugi imaju. Ovo se zove zakon moći,a ponekad i Matejev princip. Šta je Matejev princip? Možemo ga izraziti ovako: „Svakom koji ima, daće se“, a poznat je i kao:„bogati postaju sve bogatiji, dok siromašni postaju sve siromašniji“. Što više ljudi poseduje proizvod, to će ga više ljudi kupiti.
Skarlet Tomas
PopCo
Prevod: Ana Imširović Đorđević
Heliks, 2015
PopCo je roman neobičan po mnogo čemu i nalik ukrštenici u kojoj autorka Skarlet Tomas uspešno slaže razne, naizgled nepomirljive književne slojeve, te je pred nama mešavina društveno angažovane priče, lekcije iz istorije, romanse, moderne bajke o skrivenom blagu i matematičke (ili, možda, kriptografske) fikcije.
Glavna junakinja, Alis Batler, radi za Korporaciju Pop, koja pravi igračke. Uprava korporacije želi da napravi vrhunski proizvod marketinške mašinerije – materijalni objekat bez ikakve više vrednosti za devojčice, takav da će one naprosto morati da ga poseduju. Alis radi u Odeljenju za ideje i dizajn u kome atmosfera nalikuje onoj u Google – zaposleni žive svoj posao, snimaju trendove, prikupljaju podatke i u takozvanim „kampovima misli“ tokom vikenda po raznim egzotičnim mestima dolaze na ideje zasnovane na realnosti da bi korporacija manipulisala tom realnošću.
Drugi aspekt Alisinog života je njena prošlost: odrasla je uz baku i deku koji su bili kriptoanalitičari (baka je za vreme Drugog svetskog rata radila u Blečli parku sa Alanom Tjuringom na razbijanju koda Enigma, ozloglašene nemačke mašine za šifrovanje).
Te dve strane njenog života spajaju se u pogonskoj niti romana, Alisinoj potrazi za „skrivenim blagom“ na koju ju je uputio deda. Da bi došla do blaga, Alis mora da reši razne matematičke zagonetke, a kroz potragu otkriva i tamnu stranu korporacije za koju radi.
Ova zabavna knjiga obiluje matematikom, a autorka uspeva da kroz priču provuče mnoga složena matematička pitanja, ali tako da to ne izgleda iznuđeno i suvoparno. Među matematičkim temama na koje će čitaoci naići u knjizi su: Gedelova teorema, transfinitni brojevi (odnosno različite „veličine“ beskonačnog skupa), Rimanova hipoteza, Konvejeva „igra života“, Pitagorina numerička analiza prijatnih muzičkih tonova, RSA enkripcija (uloga teorije brojeva u kriptografiji), Monti Holov problem, razni logički paradoksi itd. Knjiga sarži i osvrte na same matematičare – Tjuringa, Hardija, Erdeša…
Autorka nam uspešno otvara oči na dva načina: za manipulacije novog (svetskog) korporativnog poretka čiji je jedini cilj profit, i za matematiku koja je svuda oko nas.
O AUTORU
Skarlet Tomas je engleska autorka. Do sada napisala osam romana. Predaje kreativno pisanje na Univerzitetu Kent, a uporedo studira etnobotaniku.