Господин Пи има дуг реп. Господин Пи има бесконачно дуг реп. Кад су га питагорејци први пут упознали, још у Старој Грчкој, схватили су да имају посла са бројем који је изван сваког дотадашњег поимања.

Наиме, Пи је један од најпознатијих ирационалних бројева. Такви бројеви се не могу представити као разломак, а иза децималне запете садрже бесконачно много цифара. Број Пи није само ирационалан, мистериозан је на још један начин – он је трансцедентан. То значи да не постоји алгебарска једначина за коју би Пи био решење.

Међутим, овај број може да представља и нешто сасвим опипљиво. Стари Грци су помоћу канапа мерили обиме разних кругова – на пример бачви како би израчунали колико вина у њих стаје – и кад год би их поделили дужином пречника, увек су добијали вредност броја Пи.

Зашто однос пречника и обима круга дајe број који се не може написати као разломак два природна броjа? Ова древна мистерија заправо је много већа од геометријских кругова.

Познат и под називима Архимедова константа и Лудолфов броj, најчешће записан грчким словом π, он се јавља као пресудан фактор у огромном броју једначина које описују природне појаве. Тако Пи одређује брзину којом падају кишне капи, начин на који се шири и скупља свемир и прелама светлост или вероватноћу нестајања живих врста. Број Пи можда и најбоље повезује све области математике.

Најчешће се заокружује на 3,14, а може се користити и у било којој апроксимацији као што је 3,1415926535897932384626433832795… Понекад се у рачуну заокружује као количник 22/7.

Међу цифрама броја Пи, редом почевши од неког места, може се наћи било који коначни низ: ваш датум рођења, матични број, број телефона, све се то налази негде у броју Пи. Ако бисмо Мај месец математике кодирали са 052012 приметили бисмо да се овај код такође налази у броју Пи – на 1362638. децималном месту.

У Београду се завршио „Мај месец математике“, манифестација коју су ове године, од 29. априла до 29. маја, по други пут организовали Центар за промоцију науке и Математички институт Српске академије наука и уметности. У организацији су учествовала два покровитеља, 23 партнера, 10 спонзора и 15 медиjских партнера. Драгоцен допринос успеху манифестације дало је и 350 ангажованих волонтера.

Овогодишња манифестација је широм Србије привукла чак 120.000 посетилаца, што је за трећину више него прошле године. У поређењу са другим научнопопуларним манифестацијама Центра за промоцију науке, само су „Дани будућности: Роботика“, са укупно више од 150.000  посета, изазвали веће интересовање од овогодишњег „Маја месеца математике“.

Највећу пажњу посетилаца привукла је централна интерактивна изложба, која је сваког дана, од раног јутра до касне вечери, била отворена у Галерији Робне куће Београд, у Кнез Михаиловој 5, у Београду. У овом простору се могло видети више од 25 интерактивних експоната, који су млађој и старијој публици математику представили на забаван начин.

Током маја, у истом простору је организовано више десетина школских радионица, 20 популарних математичких предавања, као и седам изузетно посећених јавних трибина. Највећи бој посетилаца је привукла трибина на којима је гостовао Алесандро Вецози из Италије, као и дебата биоетичара Џулијана Савулескуа и Џона Хериса из Велике Британије. Најугледнији гост и међународни покровитељ био је француски математичар и добитник Филдсове медаље Седрик Вилани, чију је књигу „Жива теорема“ Центар објавио поводом „Маја месеца математике“.

Мај је у овим крајевима најкишовитији месец у години. У месецима пре, као и у месецима након маја, број кишних дана све је мањи и мањи. Расподелу која ово описује математичари називају нормалном расподелом, односно Гаусијаном. Ова расподела има облик звона и готово је фасцинантно колико се природних процеса њој повинује.

Заправо, већина феномена који прате неки случајан процес, као и они у којима се повећава неуређеност, где се нешто троши, загрева, складишти или где долази до спонтаног мешања честица, на неки начин су део ове нормалне расподеле.

Тако, ако пажљиво сипате млеко у кафу, честице млека ће се из једне тачке ширити и за кратко време повиновати Гаусијану, пре него што заузму целу запремину. У складу са нормалном расподелом расту и жива ткива као што је кожа. Нокти и зуби такође. То се може чак и визуелно опазити, пошто су по средини увек дебљи, односно имају облик звона.

Може се приметити да се, с друге стране, камена степеништа с годинама троше тањећи се по средини у облику звона; у свету новца, логаритам курса валуте следи нормалну расподелу, једнако као што то чине и речне обале при изливању и поплавама.

Грешке у свим физичким мерењима, али и расподела оцена у једном школском одељењу, као и резултати IQ теста биће дистрибуирани нормалном расподелом.

Чак ће и људи сасвим несвесно поштовати овај закон. Ако погледате како се формира ред у поштама или Мекдоналдсу, видећете да увек највише људи стоји испред средњих каса. Стада оваца и крда говеда понашају се једнако – путујући на испашу, она такође следе исту расподелу као и они који ће их на крају појести у Мекдоналдсу.

Галтонова даска

Покушавајући да покаже како се случајно бачена зрна пасуља распоређују по нормалној расподели – ако их се баци довољан број – енглески природњак, истраживач и творац еугенике Френсис Галтон (1822–1911) конструисао је такозвани квинкункс, односно Галтонову даску. Ова занимљива машина могла се видети на поставци у Галерији у приземљу Робне куће Београд, у оквиру Маја месеца математике.

Музички тон какав производе клавир, виолончело или саксофон увек представља сложену звучну појаву. У његовом звуку садржани су такозвани аликвотни тонови. Њих не разабирамо слухом као самосталне, већ као боју основног тона. Но, они су ту и могу се разложити такозваном Фуријеовом анализом звучног таласа на све могуће фреквенције. Испоставља се да се фреквенције ових тонова односе према основном тону у размери 1:2:3:4:5:6:7:8:9 итд.

Али, то је само једна од математичких правилности у музици. Често се као пример везе наводе и октаве. Њихове фреквенције се односе у размери 1:2:4:8:16, односно 2⁰:2¹:2²:2³:2⁴… Овај такозвани октавни низ образује геометријску прогресију са основом 2.

Међутим, оваква веза музичких тонова са природним бројевима често се и мистификује, као што се, уосталом, чини и са другим особинама природних бројева. Њихова занимљива својства посебно привлаче „математичке мистике“, који им придају свакојака, често погрешна значења.

Још у Старој Грчкој питагорејци су веровали у хармонију сфера којој су приписивали космолошка значења. Но, они су – а међу њима посебно Архита из Тарента (428–347 п.н.е.) – користили аритметичку и хармонијску средину за поделу октаве на све мање и мање интервале. Архита је тако дефинисао три врсте лествица које је назвао енхармонијска, хроматска и дијатонска лествица.

Данас у акустици чланови хармонијског низа 1, 1/2, 1/3, 1/4… носе назив хармоници. Ови разломци, иначе, означавају део жице на инструменту који трепери приликом произвођења одговарајућег тона. Ако на гитари док жица производи тон, додирнете пажљиво прстом тачку на половини, основни тон ће се пригушити и чућете само парне хармонике. Ако жицу додирнете на трећини, чућете сваки трећи хармоник.

Математика и музика

У серији предавања и трибина које се током манифетације Мај месец математике организују широм Србије, посебан значај у свим програмима дат је вези између математике и музике. Посетиоци ове манифестације ће моћи да чују предавања Весне Манојловић „Мебиjусове трансформациjе у Бетовеновоj ‘Темпест’ сонати”, Милоша Чанка „Музичка кретања у светлу математике“ и Филипа Јевтића „Симетрија у музици“.

У једној варијацији познате кинеске изреке бесконачност је „коцка без страна“. Ако сте покушали да сложите чувену Рубикову коцку, можда сте, у очајању да дођете до решења, помислили како је број начина на који се њена 54 разнобојна квадратића могу поставити – бесконачан.

Једноставан комбинаторни рачун показује да није баш тако. Међутим, број пермутација које је могуће извести са најпродаванијом играчком на светузаиста је огроман, готово се може рећи да је бесконачан. Ако бисмона једном месту поставили онолико Рубикових коцки колико има могућих пермутација, површину планете Земље бисмо покрили 275 пута.

Тај број износи 43.252.003.274.489.856.000.

Како се до њега долази?

Рубикова коцка, као и свака друга, има осам углова. Покушајмо да израчунамо на колико се начина они, односно осам угаоних коцкица, могу распоредити.

Ако фиксирамо једну, остале коцкице се могу распоредити на седам начина. Ако фиксирамо још једну, преостале се могу распоредити на шест начина итд. То значи да имамо 8x7x6x5x4x3x2x1 могућих пермутација само за положаје углова коцке.

Математичари овакво множење иначе називају факторијелом и обележавају га ускличником, што је у нашем случају 8! и износи 40.320. Међутим, да би се добио укупан број могућности, то је потребно помножити са свим могућим оријентацијама угаоних коцкица, а затим и са пермутацијама и оријентацијама ивица, те избацити пермутације до којих се не може доћи дозвољеним потезима. У крајњем производу добијају се наведена 43 трилиона.

Упркос томе, увежбани играчи – углавном уз помоћ алгоритма за решавање – могу изузетно брзо пронаћи која је од свих тих пермутација право решење.

Међународно такмичење у слагању Рубикове коцке

У суботу, 12. маја 2012, у Математичкој гимназији одржано је Међународно такмичење у слагању Рубикове коцке у оквиру Маја месеца математике. Учесници такмичења дошли су из Аустрије, Швајцарске, Бугарске, Холандије, Мађарске, Румуније, Босне и Херцеговине, Хрватске и Србије.

Више информација о такмичењу и сатници можете истражити на сајту serbiaopen.comuf.com

Више информација о Мају месецу математитке можете истражити на сајту m3.rs

Колико пута сте започели нешто што вам је донело много муке, на чему сте дуго радили, а онда се испоставило да је посао сасвим узалудан?

Историја математике је препуна таквих подухвата. У једном од њих можете и сами да се окушате – нацртајте круг, па затим покушајте само помоћу лењира и шестара да конструишете квадрат који има исту површину као и круг.

Овај наизглед једноставaн, али нерешив задатак познат је као квадратура круга и представљао је један од великих проблема у геометрији. Први покушаји да се изведе квадратура круга забележени су још у Вавилону 1800 година пре нове ере. Први Грк који се суочио са њим био је Анаксагора (500–428 п.н.е.), који је решавао овај задатак током свог изгнанства из Атине. Истим проблемом бавили су се бројни антички и средњoвековни математичари.

Међутим, тек је 1882. математичар Фердинанд фон Линдеман (1852–1939) доказао да је то и теоријски немогуће. Зашто? Замислите круг полупречника 1. Његова површина износи 1²π, односно π. Ако би могли да конструишемо квадрат површине круга, онда би и његова површина била π, што значи да би странице имале дужину √π. Дакле, да би се лењиром и шестаром нацртао квадрат површине круга, потребно је конструисати дужину која износи √π.

Међутим, ову дужину је немогуће конструисати само помоћу лењира и шестара. То је зато што су и π и √π трансцедентни бројеви, односно бројеви који нису решење ниједне алгебарске једначине.

Да ли може да се вози бицикл који уместо точкова у облику круга има точкове квадратног облика? Како он уопште може да се креће? Испоставља се да може, али за разлику од обичног бицикла који се креће по равној подлози, такозвани коцкоцикл се креће само по подлози која мора пратити облик катемптоте. Ова крива представља функцију хиперболичног косинуса, а у стварности се јавља у ликовима висећих мостова, ланчаних ограда, паукових мрежа и жица далековода. Коцкоцикл који је конструисао Центар за промоцију науке током маја 2012. може се провозати у Кнез Михаиловој улици, у Београду током читавог маја, у оквиру манифестације Мај месец математике.

Више о томе сазнајте на www.m3.rs

Поморанџина кора, осим што се може љуштити, сецкати или само мирисати, може се посматрати и као скуп тачака. То је нешто што би учинио један математичар.

Ако би кору поморанџе исекао на ситне комаде, па их затим још уситнио, самлео на ситније и ситније делове, бесконачно пута, све док уместо комадића не добије апстрактне објекте зване тачке, математичар би рекао да кора поморанџе представља скуп тачака. То важи и за сваку другу површ.

Наиме, тачку у Декартовом координатном систему математичари дефинишу са три броја – најчешће су то x, y, и z, где сваки од њих представља растојање од Декартових оса. На пример, једну тачку записујемо као (3, 8, 5), што значи да је она од координатног почетка удаљена за 3 дуж x осе, за 8 дуж y осе, а 5 дуж z осе.

Како, међутим, да запишемо баш све тачке које је математичар добио млевењем поморанџине површине?

Једини начин је да користимо једначину и то такву која доводи у везу и x и y и z, као што је, на пример, x+ y + z = 1, што је, иначе, једначина свих тачака у једној равни.

Све тачке  које задовољавају једначину x² + y² + z² = 1, налазе се на растојању 1 од координатног почетка. Оне заправо образују сферу или у нашем случају скуп тачака који чини поморанџину површину.

Међутим, ако се мало поиграмо с том једначином, можемо да деформишемо поморанџу. Ако само додамо једну двојку, као у 2x² + y² + z² = 1, то је исто као да смо поморанџу мало спљоштили дуж x осе. Ако уместо 2 ставимо 20, онда ће изгледати као да смо је много јаче притиснули, у нади да се поморанџа неће распрснути.

У оквиру манифестације Мај месец математике (М³), Центар за промоцију науке представља интерактивну изложбу Imaginary, која је отворена у петак, 27. априла, у Галерији науке и технике САНУ-а (Ђуре Јакшића 2).

Посетиоци кроз ову јединствену поставку имају прилику да облике попут срца, лимуна и разноврсних геометријских тела погледају очима математичара. Коришћењем графичког софтвера производе се 3D прикази објеката, иза којих заправо стоје сасвим једноставне математичке формуле. Мењањем ових формула, мењају се и облици и увиђа начин на који су алгебра и геометрија повезане.

Више о Мају месецу математике сазнајте на сајту www.m3.rs

За разлику од људи, компјутери познају само две цифре – 0 и 1.

Нула одговара стању кад у бројном регистру рачунарског процесора нема струје, док један значи да је има. Захваљујући томе, рачунар може да запише било који број и да са њим потом врши рачунања. Такав систем писања бројева, основе два, назива се бинарни бројни систем.

Као код декадног бројног система који има десет цифара, и у бинарном је могуће записати све бројеве. Тако је у бинарном систему 000=0, 001=1, 010=2, 011=3, а 100=4.

Поред декадног и бинарног, понекад се користе и системи основе 8, 16 и 60. Њих су некада користили древни народи попут Вавилонаца, старих Маја и Кинеза. Модерни човек је навикао да користи бројни систем са основом десет и врло би му било тешко да броји и рачуна у неком другом.

Током маја месеца откуца 2.678.400 секунди. За то време на Земљи се роди 10.713.600 беба. У земљу удари више од 200.000.000 громова, али тек око 1000 њих погоди човека. У међувремену, ишчезне 5000 живих врста.

Током маја месеца, негде у свету, у 9739 кутија спакуjу се две сасвим различите ципеле. Погрешно се постави 9000 пеjсмеjкера, а 99.200 људи се повреди у тоалету. За исто време, човек 83.721 пута уједе човека.

Током маја месеца, људи на планети изговоре више од 1.000.000.000.000.000 речи, од којих се већина понови много пута. Просечна особа за то време око себе расеjе више од четири стотине милиона комадића коже, а у њеним устима се укупно произведе 27 литара пљувачке. У међувремену, широм света испече се милијарду пица и поједе 33.000 тона кокица.

Током маја месеца, као и било ког другог, од великог праска до данас, математика броји без прекида. Она је свуда – у космичким дубинама, у компјутерским процесорима, у прашумама и океанима, у пчелињаку, пекари, на дечјем игралишту. Математика прожима свакодневицу.

Како би представили њена многа лица, Центар за промоцију науке и Математички институт САНУ-а, заједно са бројним партнерима, покровитељима и спонзорима, покренули су националну научнопопуларну манифестацију Мај месец математике.

Тако је током овог маја у петнаест градова Србије организован разноврстан програм којим математика излази на улице, тргове и речне обале, осваја галерије, музеје и друге јавне просторе.

У Србију поводом ове манифестације долази више угледних математичара из Европе. Но, срж програма чини више гостујућих математичких изложби, али и бројни интерактивни математички експонати који су развијени у Србији. Свакога дана, у више простора, организују се радионице за све заинтересоване посетиоце, као и радионице које су прилагођене ђацима, затим такмичења, квизови, као и популарна предавања и дебате.

Циљ свих ових акција је да прикажу математику онаквом каква заправо јесте – као игру и страст. Као креативну вештину на граници уметности и науке. Као живот.

ИСТРАЖИТЕ ВИШЕ О М3

На конференцији за медије, у среду, 25. априла у 12h, у Медија центру у Београду, пред великим бројем новинара представљен је програм активности током манифестације Мај месец математике. На конференцији су поред информација о М3, премијерно приказани и резултати истраживања ”Колико се грађани Србије плаше математике”. На конференцији су говорили Александра Дрецун, директорка Центра за промоцију науке, Зоран Марковић, директор Математичког института САНУ, Бранко Ковачевић, ректор Универзитета у Београду., Ђурђа Тимотијевић, Агенција МАСМИ и Добривоје Ерић, уредник програма М3.

Погледајте снимак конференције за новинаре.
Истражите више и преузмите материјале о М3.

Откриће нуле променило је свет. Када су индијски математичари у петом веку открили да се и ништа, празнина или одсуство бројне вредности може записати, дошло је до револуције у развоју математике.

Ово знање је потом стигло до Арапа који су били врсни математичари у своје доба. Уводећи нулу, они су развили децимални систем записивања бројева помоћу десет симбола и децималног зареза. Зато се симболи 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 називају арапске цифре.

Арапи су у раном средњем веку владали Шпанијом, па су многа своја знања пренели Европљанима. Арапске цифре су тако стигле у Европу, где су почеле све више да се користе.

Данас је децимални систем назамењив у математици. Он користи само десет цифара, али помоћу њих и децималног зареза може да представи бесконачно много бројева – све који постоје.

Људи често бркају појмове „цифра“ и „број“. Тако, рецимо, за бројну вредност сто хиљада или милијарда, кажу да је „цифра сто хиљада“ или „цифра милион“. А цифра је у ствари само симбол којим се број записује и она нема вредност. У децималном систему постоји само десет цифара. Све остало су бројеви.