Њено чудесно лице Архимед открива у круговима. Леонардо Боначи га проналази у цифрама. Алан Тјуринг у машинама. Данас знамо како су лица математике свуда – у дубинама Универзума, у брзини кишних капи, зрацима сунца, новцу и економији, у моторима који покрећу свет, у сликама и симфонијама, у односима и мерама лепог. На нашим лицима.

Пет година након што је покренута, национална научнопопуларна манифестација „Мај месец математике“ (М3) поново открива своје лице широм Србије. Центар за за промоцију науке и Математички институт САНУ представљају манифестацију која ће од 12. до 31. маја извести математику изван школа, универзитета и института, кроз изложбе и радионице, али и уличну уметност за све узрасте, за оне који је обожавају, али и оне који се плаше математике.

Овогодишњи M3 представља стварна, жива лица математике широм Србије – десет најкреативнијих наставника и професора математике, изабраних на конкурсу на коме је учествовало више од 200 наставника из свих делова Републике. Њихове добре праксе, знање и љубав према математици коју деле са својим ученицима, током овог маја кроз радионице, акције и поруке током овог маја биће доступне свим љубитељима знања и радозналцима.

Отварање M3

Манифестација Мај месец математике (М3) ове године се отвара на сасвим посебан начин: вожњом у троли! Овога маја у градском превозу путоваће изложба с лицима наставника математике изабраних широм Србије.

Отварање је заказано за 12. мај, у 10.45, на окретници троле на Студентском тргу, а сви заинтересовани имаће прилику да се провозају тролом број 29 уз Лица математике! Отварању ће присуствовати и Срђан Вербић, министар просвете, науке и технолошког развоја.

Лица математике се могу видети у новоотворених дванаест Научних клубова, у Београду и дванаест градова Србије, али и свуда око вас – у градском превозу, на математичким графитима осликаним зидовима, у парковима, улицама, на друштвеним мрежама и медијима.

„Мај месец математике“ представља и лица десет великана који су кроз историју градили ову дисциплину. Са идејом да вас покрене, заинтересује, зачуди и промени, М3 ће ти открити на десетине и стотине одраза највеће авантуре коју је човек икада предузео откако броји, рачуна и математички посматра свет – скривено, узбудљиво, истинско лице математике. Твоје лице.

Програм М3 2016

У периоду од 12. до 31. маја, десет најкреативнијих наставника и професора из Србије, одржаће низ предавања и радионица у просторијама Галерије науке и технике САНУ и у Математичком институту САНУ у Београду намењене школама. Ђаци ће имати прилику да се упознају са геогеобрама, математичко-логичним проблемима са доминама, необичним површинама, оригамијем, Ешером и концептом op-art слагалице и другим интересантним темама.

Осим тога, током трајања М3, заинтересовани посетиоци имаће прилику да погледају изложбу Лица математике и математички великани у холу Матетматичког факултета Универзитета у Београду, али и у појединим возилима ГСП-а. Такође, део програма биће одржан у новоотвореним Научним клубовима широм Србије.

У оквиру овогдишњег М3 Србију ће посетити познати математичар Џејмс Тентон, професор из националног Матетамтичког удружења математичара Америке. У оквиру М3 Тантон ће одржати низ предавања у МИ САНУ, Математичкој гимназији, Петници, ПМФ и StartIt центру. 

Програм М3 биће затворен ЦПН трибином у СКЦ-у 31. маја.

Истражите више o програму на сајту М3.

Недавно су бројни светски медији пренели вест о томе која је најпожељнија професија на свету. Помало неочекивано, у питању је професија математичара. Математика је заступљена у разним секторима, од компанија до државне администрације. Све ове организације умногоме зависе од анализе великог броја података, оно што се данас зове Big Data, и њиховог рашчлањивања, а математичке вештине помажу да се тај посао обави како треба.

Од здравства, технологије па до спорта и политике, математика игра врло важну улогу. Од авиона до мобилних телефона, практично сви уређаји које користимо у домаћинству или индустрији зависе од математичких прорачуна. Било да имате потребе за банкарским или пословима осигуравајућих друштава, разумевање основа математике вам је неопходно како бисте их исправно обавили.

Популарност ове професије полако почиње да бива препозната и код нас, на шта указује и чињеница да је прошле године Математички факлутет Универзитета у Београду забележио пораст интересовања бруцоша за читавих 50 одсто.

Управо ће студенти Математичког факултета у Београду, на трибини „Професија: математичар“, која се одржава у Научном клубу Центра за промоцију науке, 30. маја, у 19 часова, указати на то зашто је математика важна и, пре свега, врло занимљива професија. На трибини ће говорити:

1. Проф. др Зоран Марковић, директор Математичког института САНУ
2. Милош Златковић, Ђорђе Релић, Дино Спасовски, Бранка Сандо, Бојана Вучковић, студенти Математичког факултета Универзитета у Београду
3. Проф. др Милена Ставрић, Технолошки Универзитет у Грацу

Студенти Математичког факултета ће у кратким излагањима говорити о значају рачунарства, статистици и лепоти математике.

Трибина „Професија: математичар“ је део трибинског програма манифестације „Мај месец математике“, коју Центар за промоцију науке заједно са Математичким институтом организује по трећи пут.

Маj месец математике

24-31. мај 2014, 10-21 час

Централна математичка изложба у Робној кући Београд, у Кнез Михаиловој улици 5, у Београду, поново је за посетиоце отворена од суботе, 24. маја, и трајаће све до краја месеца. Током наредне недеље, па све до краја манифестације, 31. маја, одржаће се сва планирана предавања, трибине и филмски програм. Радно време М³ изложбе је од 10 до 21 час, сваког дана, осим понедељком.

Истражите више о програму М³

Господин Пи има дуг реп. Господин Пи има бесконачно дуг реп. Кад су га питагорејци први пут упознали, још у Старој Грчкој, схватили су да имају посла са бројем који је изван сваког дотадашњег поимања.

Наиме, Пи је један од најпознатијих ирационалних бројева. Такви бројеви се не могу представити као разломак, а иза децималне запете садрже бесконачно много цифара. Број Пи није само ирационалан, мистериозан је на још један начин – он је трансцедентан. То значи да не постоји алгебарска једначина за коју би Пи био решење.

Међутим, овај број може да представља и нешто сасвим опипљиво. Стари Грци су помоћу канапа мерили обиме разних кругова – на пример бачви како би израчунали колико вина у њих стаје – и кад год би их поделили дужином пречника, увек су добијали вредност броја Пи.

Зашто однос пречника и обима круга дајe број који се не може написати као разломак два природна броjа? Ова древна мистерија заправо је много већа од геометријских кругова.

Познат и под називима Архимедова константа и Лудолфов броj, најчешће записан грчким словом π, он се јавља као пресудан фактор у огромном броју једначина које описују природне појаве. Тако Пи одређује брзину којом падају кишне капи, начин на који се шири и скупља свемир и прелама светлост или вероватноћу нестајања живих врста. Број Пи можда и најбоље повезује све области математике.

Најчешће се заокружује на 3,14, а може се користити и у било којој апроксимацији као што је 3,1415926535897932384626433832795… Понекад се у рачуну заокружује као количник 22/7.

Међу цифрама броја Пи, редом почевши од неког места, може се наћи било који коначни низ: ваш датум рођења, матични број, број телефона, све се то налази негде у броју Пи. Ако бисмо Мај месец математике кодирали са 052012 приметили бисмо да се овај код такође налази у броју Пи – на 1362638. децималном месту.

Мај је у овим крајевима најкишовитији месец у години. У месецима пре, као и у месецима након маја, број кишних дана све је мањи и мањи. Расподелу која ово описује математичари називају нормалном расподелом, односно Гаусијаном. Ова расподела има облик звона и готово је фасцинантно колико се природних процеса њој повинује.

Заправо, већина феномена који прате неки случајан процес, као и они у којима се повећава неуређеност, где се нешто троши, загрева, складишти или где долази до спонтаног мешања честица, на неки начин су део ове нормалне расподеле.

Тако, ако пажљиво сипате млеко у кафу, честице млека ће се из једне тачке ширити и за кратко време повиновати Гаусијану, пре него што заузму целу запремину. У складу са нормалном расподелом расту и жива ткива као што је кожа. Нокти и зуби такође. То се може чак и визуелно опазити, пошто су по средини увек дебљи, односно имају облик звона.

Може се приметити да се, с друге стране, камена степеништа с годинама троше тањећи се по средини у облику звона; у свету новца, логаритам курса валуте следи нормалну расподелу, једнако као што то чине и речне обале при изливању и поплавама.

Грешке у свим физичким мерењима, али и расподела оцена у једном школском одељењу, као и резултати IQ теста биће дистрибуирани нормалном расподелом.

Чак ће и људи сасвим несвесно поштовати овај закон. Ако погледате како се формира ред у поштама или Мекдоналдсу, видећете да увек највише људи стоји испред средњих каса. Стада оваца и крда говеда понашају се једнако – путујући на испашу, она такође следе исту расподелу као и они који ће их на крају појести у Мекдоналдсу.

Галтонова даска

Покушавајући да покаже како се случајно бачена зрна пасуља распоређују по нормалној расподели – ако их се баци довољан број – енглески природњак, истраживач и творац еугенике Френсис Галтон (1822–1911) конструисао је такозвани квинкункс, односно Галтонову даску. Ова занимљива машина могла се видети на поставци у Галерији у приземљу Робне куће Београд, у оквиру Маја месеца математике.

Музички тон какав производе клавир, виолончело или саксофон увек представља сложену звучну појаву. У његовом звуку садржани су такозвани аликвотни тонови. Њих не разабирамо слухом као самосталне, већ као боју основног тона. Но, они су ту и могу се разложити такозваном Фуријеовом анализом звучног таласа на све могуће фреквенције. Испоставља се да се фреквенције ових тонова односе према основном тону у размери 1:2:3:4:5:6:7:8:9 итд.

Али, то је само једна од математичких правилности у музици. Често се као пример везе наводе и октаве. Њихове фреквенције се односе у размери 1:2:4:8:16, односно 2⁰:2¹:2²:2³:2⁴… Овај такозвани октавни низ образује геометријску прогресију са основом 2.

Међутим, оваква веза музичких тонова са природним бројевима често се и мистификује, као што се, уосталом, чини и са другим особинама природних бројева. Њихова занимљива својства посебно привлаче „математичке мистике“, који им придају свакојака, често погрешна значења.

Још у Старој Грчкој питагорејци су веровали у хармонију сфера којој су приписивали космолошка значења. Но, они су – а међу њима посебно Архита из Тарента (428–347 п.н.е.) – користили аритметичку и хармонијску средину за поделу октаве на све мање и мање интервале. Архита је тако дефинисао три врсте лествица које је назвао енхармонијска, хроматска и дијатонска лествица.

Данас у акустици чланови хармонијског низа 1, 1/2, 1/3, 1/4… носе назив хармоници. Ови разломци, иначе, означавају део жице на инструменту који трепери приликом произвођења одговарајућег тона. Ако на гитари док жица производи тон, додирнете пажљиво прстом тачку на половини, основни тон ће се пригушити и чућете само парне хармонике. Ако жицу додирнете на трећини, чућете сваки трећи хармоник.

Математика и музика

У серији предавања и трибина које се током манифетације Мај месец математике организују широм Србије, посебан значај у свим програмима дат је вези између математике и музике. Посетиоци ове манифестације ће моћи да чују предавања Весне Манојловић „Мебиjусове трансформациjе у Бетовеновоj ‘Темпест’ сонати”, Милоша Чанка „Музичка кретања у светлу математике“ и Филипа Јевтића „Симетрија у музици“.

У једној варијацији познате кинеске изреке бесконачност је „коцка без страна“. Ако сте покушали да сложите чувену Рубикову коцку, можда сте, у очајању да дођете до решења, помислили како је број начина на који се њена 54 разнобојна квадратића могу поставити – бесконачан.

Једноставан комбинаторни рачун показује да није баш тако. Међутим, број пермутација које је могуће извести са најпродаванијом играчком на светузаиста је огроман, готово се може рећи да је бесконачан. Ако бисмона једном месту поставили онолико Рубикових коцки колико има могућих пермутација, површину планете Земље бисмо покрили 275 пута.

Тај број износи 43.252.003.274.489.856.000.

Како се до њега долази?

Рубикова коцка, као и свака друга, има осам углова. Покушајмо да израчунамо на колико се начина они, односно осам угаоних коцкица, могу распоредити.

Ако фиксирамо једну, остале коцкице се могу распоредити на седам начина. Ако фиксирамо још једну, преостале се могу распоредити на шест начина итд. То значи да имамо 8x7x6x5x4x3x2x1 могућих пермутација само за положаје углова коцке.

Математичари овакво множење иначе називају факторијелом и обележавају га ускличником, што је у нашем случају 8! и износи 40.320. Међутим, да би се добио укупан број могућности, то је потребно помножити са свим могућим оријентацијама угаоних коцкица, а затим и са пермутацијама и оријентацијама ивица, те избацити пермутације до којих се не може доћи дозвољеним потезима. У крајњем производу добијају се наведена 43 трилиона.

Упркос томе, увежбани играчи – углавном уз помоћ алгоритма за решавање – могу изузетно брзо пронаћи која је од свих тих пермутација право решење.

Међународно такмичење у слагању Рубикове коцке

У суботу, 12. маја 2012, у Математичкој гимназији одржано је Међународно такмичење у слагању Рубикове коцке у оквиру Маја месеца математике. Учесници такмичења дошли су из Аустрије, Швајцарске, Бугарске, Холандије, Мађарске, Румуније, Босне и Херцеговине, Хрватске и Србије.

Више информација о такмичењу и сатници можете истражити на сајту serbiaopen.comuf.com

Више информација о Мају месецу математитке можете истражити на сајту m3.rs

Колико пута сте започели нешто што вам је донело много муке, на чему сте дуго радили, а онда се испоставило да је посао сасвим узалудан?

Историја математике је препуна таквих подухвата. У једном од њих можете и сами да се окушате – нацртајте круг, па затим покушајте само помоћу лењира и шестара да конструишете квадрат који има исту површину као и круг.

Овај наизглед једноставaн, али нерешив задатак познат је као квадратура круга и представљао је један од великих проблема у геометрији. Први покушаји да се изведе квадратура круга забележени су још у Вавилону 1800 година пре нове ере. Први Грк који се суочио са њим био је Анаксагора (500–428 п.н.е.), који је решавао овај задатак током свог изгнанства из Атине. Истим проблемом бавили су се бројни антички и средњoвековни математичари.

Међутим, тек је 1882. математичар Фердинанд фон Линдеман (1852–1939) доказао да је то и теоријски немогуће. Зашто? Замислите круг полупречника 1. Његова површина износи 1²π, односно π. Ако би могли да конструишемо квадрат површине круга, онда би и његова површина била π, што значи да би странице имале дужину √π. Дакле, да би се лењиром и шестаром нацртао квадрат површине круга, потребно је конструисати дужину која износи √π.

Међутим, ову дужину је немогуће конструисати само помоћу лењира и шестара. То је зато што су и π и √π трансцедентни бројеви, односно бројеви који нису решење ниједне алгебарске једначине.

Да ли може да се вози бицикл који уместо точкова у облику круга има точкове квадратног облика? Како он уопште може да се креће? Испоставља се да може, али за разлику од обичног бицикла који се креће по равној подлози, такозвани коцкоцикл се креће само по подлози која мора пратити облик катемптоте. Ова крива представља функцију хиперболичног косинуса, а у стварности се јавља у ликовима висећих мостова, ланчаних ограда, паукових мрежа и жица далековода. Коцкоцикл који је конструисао Центар за промоцију науке током маја 2012. може се провозати у Кнез Михаиловој улици, у Београду током читавог маја, у оквиру манифестације Мај месец математике.

Више о томе сазнајте на www.m3.rs

Поморанџина кора, осим што се може љуштити, сецкати или само мирисати, може се посматрати и као скуп тачака. То је нешто што би учинио један математичар.

Ако би кору поморанџе исекао на ситне комаде, па их затим још уситнио, самлео на ситније и ситније делове, бесконачно пута, све док уместо комадића не добије апстрактне објекте зване тачке, математичар би рекао да кора поморанџе представља скуп тачака. То важи и за сваку другу површ.

Наиме, тачку у Декартовом координатном систему математичари дефинишу са три броја – најчешће су то x, y, и z, где сваки од њих представља растојање од Декартових оса. На пример, једну тачку записујемо као (3, 8, 5), што значи да је она од координатног почетка удаљена за 3 дуж x осе, за 8 дуж y осе, а 5 дуж z осе.

Како, међутим, да запишемо баш све тачке које је математичар добио млевењем поморанџине површине?

Једини начин је да користимо једначину и то такву која доводи у везу и x и y и z, као што је, на пример, x+ y + z = 1, што је, иначе, једначина свих тачака у једној равни.

Све тачке  које задовољавају једначину x² + y² + z² = 1, налазе се на растојању 1 од координатног почетка. Оне заправо образују сферу или у нашем случају скуп тачака који чини поморанџину површину.

Међутим, ако се мало поиграмо с том једначином, можемо да деформишемо поморанџу. Ако само додамо једну двојку, као у 2x² + y² + z² = 1, то је исто као да смо поморанџу мало спљоштили дуж x осе. Ако уместо 2 ставимо 20, онда ће изгледати као да смо је много јаче притиснули, у нади да се поморанџа неће распрснути.

У оквиру манифестације Мај месец математике (М³), Центар за промоцију науке представља интерактивну изложбу Imaginary, која је отворена у петак, 27. априла, у Галерији науке и технике САНУ-а (Ђуре Јакшића 2).

Посетиоци кроз ову јединствену поставку имају прилику да облике попут срца, лимуна и разноврсних геометријских тела погледају очима математичара. Коришћењем графичког софтвера производе се 3D прикази објеката, иза којих заправо стоје сасвим једноставне математичке формуле. Мењањем ових формула, мењају се и облици и увиђа начин на који су алгебра и геометрија повезане.

Више о Мају месецу математике сазнајте на сајту www.m3.rs

Пише: Сташа Бајац

У оквиру националне манифестације Мај месец математике, њени организатори Центар за промоцију науке и Математички институт САНУ-а објавили су, у сарадњи са Заводом за уџбенике, књигу ”Смем ли да бројим” немачког математичара Гинтера Циглера, почасног госта овог догађаја.

Гинтер М. Циглер рођен је 1963. у Минхену. Математику је студирао у родном граду, али и на престижном Масачусетском институту технологије (МИТ), после чега је постао најмлађи професор на Техничком универзитету у Берлину. Одликован је ”Лајбницовом наградом”, најзначајнијом немачком наградом за истраживање, као и наградом комуникатора.

Као председник немачког Друштва математичара, иницијатор ”Године математике” и предавача Слободног универзитета у Берлину наставља свој рад на пољу популаризације математике и ширења знања о овој дисциплини. 

Један од фронтова на ком успешно обавља ову важну дужност је и књижевност. У својој књизи ”Смем ли да бројим”, у преводу Александра Липовског, Циглер читаоца проводи кроз десет поглавља који попут ходника вијугају по узбудљивом свету математике.

У прва три бави се бројевима, започевши их са чувеном питагорејском крилатицом ”Све је број”. Доказ да ову књигу може читати свако, без обзира на ниво знања или пре незнања и страха од математике, лежи у чињеници да Циглер испрва поставља питања Шта су заправо бројеви? Шта све може бити број? Какви све бројеви постоје?.

Одговоре на ова питања нуди у виду кратких слика, анегдота, коментара на новинске чланке који се на неки начин баве темом поглавља или је релативизују. По овом принципу заснива целу књигу, што му оставља простора за духовите дигресије и опаске.

Четврто поглавње посвећено је математичким формулама. Већ у првом пасусу Циглер оповргава тврдњу да су формуле језик математике, тврдећи да је то бесмислица, будући да математичари не говоре само у формулама. Напротив, оне су писмо.

Ако ово на тренутак звучи сувише апстрактно, већ на следећој страни налази се следећа вест: Британски истраживачи пронашли су математичку формулу за прављење перфектног сендвича са сиром. У, сада већ чрвсто успостављеном маниру, Циглер балансира математичке истине и промишљања са забавним подацима, увек правећи јасну црту између науке и псеудо-науке.

У петом делу књиге, који се тиче се математичких загонетки, Циглер кроз причу о судоку и другим играма, заправо говори о важности решавања малих проблема. Иако се као озбиљан професор и математичар бави сложеним математичким проблемима, не пропушта да свој мозак тренира и кроз ове ситне и лакше. Но, ово поглавље осврће се и на озбиљне, велике и нерешене загонетке.

Можда намерно, тачно на половини књиге, Циглер прави предах од мозгања и кроз приче о томе Где настаје математика? осврће се на најразличитија места од плаже, преко кафића до кревета на којима су познати математичари дошли до значајних открића и резултата.

На пут се убрзо враћа у седмом делу књиге који говори о математичким доказима, чему служе, како се до њих долази, али и да ли су увек тачни и колико греше. Осмо и девето поглавље поново посвећује математичарима: Прво говори о три математичарске легенде, а потом, у делу названом ”Какви су то људи” прича о пет математичара који се, иако спојени овом дисциплином, умногоме разликују.

Књигу завршава целином које је на известан начин сумира стил читаве књиге. Започиње га тврдњом да оно што могу математичари, могу само математичари, разрађује уверењем да математику заправо знамо много боље него што мислимо, завршава парафразирајући Вуди Алена, а онда и наредбом, све са знаком узвика, да књиге са списка који је саставио обавезно прочитамо.

Текст: Сташа Бајац

Интернет портал Математика у Европи, који је креиран под покровитељством Европског математичког друштва (ЕМС) и намењена сваком кога занима математика, од овог месеца доступан је и на српском језику.

Како се наводи на сајту, ”јавно разумевање математике jе у изразитоj супротности са значаjем те науке у друштву. Многи наши савременици сматраjу да jе математика поље у ком су сви битни резултати добиjени одавно, пре више векова, и да има мало, ако уопште има, веза са стварним животом.”

Центар за промоцију науке и Математички институт САНУ-а су при покретању Маја месеца математике, националне научно-популарне манифестације која се одвија у петнаест градова у Србији, пошли од истог уверења, тако да  се и превођење овог веб-сајта нашло у оквиру разноврсног програма М3-а.

На адреси mathematics-in-europe.eu новинари, професори, студенти, ученици и сви остали заитересовани грађани могу да пронађу обиље релеватних података, вести и чланака из света математике, као и информације о такмичењима, наградама итд. На сајту се наглашава како циљ ниjе да “опишемо „тврди“ научни део математике. Желимо да представимо садржаjе коjи се могу разумети, бар у већини случаjева, без посебног математичког предзнања.”