Текст: Тијана Марковић

„У историји математике нема већег изненађења од чињенице да су комплексни бројеви схваћени и синтетички и аналитички, пре негативних бројева“, истакао је у својој књизи велики математичар Е.Т. Бел. Звучи парадоксално, али први суштински корак ка правилном схватању и коначном усвајању негативних бројева десио се тек када су комплексни бројеви стекли свој математички „легитимитет“.

Имагинарне бројеве је дефинисао италијански математичар Рафаел Бомбели 1572. године. У то време сматрани су бесмисленим, нимало корисним и били одбацивани, као нула својевремено. Њихово уздизање десило се у тренутку када се појавила потреба за дефинисањем квадратног корена из негативног броја, јер до тада није постојао ниједан реалан број који би решио тај проблем. Бомбели је тада увео нови број – имагинарну јединицу. 

Занимљиво је то што сада имагинарни бројеви као да искачу свуда око нас и могу се наћи код много једначина које се користе у електротехници, квантној механици и Ајнштајновој теорији релативитета. Самим тим, јасно је да су комплексни бројеви постали саставни део многих природних наука, нарочито физике, механике, електротехине. С обзиром на то, мора да су играли важну улогу у стварању и постојању нашег универзума.

Илустрација „Број i“ је, заједно са још 23 друга броја, представљена на изложби током ЦПН манифестације „Мај месец математике“, која траје од 12. до 30. маја у Галерији науке и технике САНУ. Серија „Бројеви“ на Елементаријуму прати садржај истоимене ЦПН публикације, објављене поводом „Маја месеца математике“.  

Истражите више о изложби ”Бројеви”.

За разлику од људи, компјутери познају само две цифре – 0 и 1.

Нула одговара стању кад у бројном регистру рачунарског процесора нема струје, док један значи да је има. Захваљујући томе, рачунар може да запише било који број и да са њим потом врши рачунања. Такав систем писања бројева, основе два, назива се бинарни бројни систем.

Као код декадног бројног система који има десет цифара, и у бинарном је могуће записати све бројеве. Тако је у бинарном систему 000=0, 001=1, 010=2, 011=3, а 100=4.

Поред декадног и бинарног, понекад се користе и системи основе 8, 16 и 60. Њих су некада користили древни народи попут Вавилонаца, старих Маја и Кинеза. Модерни човек је навикао да користи бројни систем са основом десет и врло би му било тешко да броји и рачуна у неком другом.

Откриће нуле променило је свет. Када су индијски математичари у петом веку открили да се и ништа, празнина или одсуство бројне вредности може записати, дошло је до револуције у развоју математике.

Ово знање је потом стигло до Арапа који су били врсни математичари у своје доба. Уводећи нулу, они су развили децимални систем записивања бројева помоћу десет симбола и децималног зареза. Зато се симболи 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 називају арапске цифре.

Арапи су у раном средњем веку владали Шпанијом, па су многа своја знања пренели Европљанима. Арапске цифре су тако стигле у Европу, где су почеле све више да се користе.

Данас је децимални систем назамењив у математици. Он користи само десет цифара, али помоћу њих и децималног зареза може да представи бесконачно много бројева – све који постоје.

Људи често бркају појмове „цифра“ и „број“. Тако, рецимо, за бројну вредност сто хиљада или милијарда, кажу да је „цифра сто хиљада“ или „цифра милион“. А цифра је у ствари само симбол којим се број записује и она нема вредност. У децималном систему постоји само десет цифара. Све остало су бројеви.   

Стари Римљани су од Грка научили да броје. Како се у њихово доба убрзано развијала трговина, расла је потреба и да се бројеви записују на што једноставнији начин. Тадашњи начин записивања бројева дошао је из Грчке, али је потекао са истока, а Римљани су га знатно усавршили. Зато је седам симбола у овом бројном систему, I, V, X, L, C, D и M названо римске цифре.

Ознака за један обележавала се знаком I, што одговара једном људском прсту. Цифра пет, V, настала је по лику људске шаке са пет прстију, где је палац растављен од осталих. Цифра десет, X, која одговара броју прстију на обе руке, добијена је као лик две прекрштене шаке. Остале цифре L (50), C (100), D (500) и М (1000) настале су као прва слова латинских назива за ове бројеве.

Римске цифре се и данас користе, најчешће при набрајању или записивању година. Вредности римских бројева добијају се једноставно. Када се нови симбол додаје са десне стране веће цифре, он се сабира, када се додаје са леве, он се одузима. Тако је VI=6, XI=11, а LX=60, док је IV=4, XL=40, а CD=400.

Међу римским цифрама нема нуле, пошто некада није било познато да је и нула број. Да би се римске цифре у неком тексту разликовале од великих латиничних слова, најчешће се писала и црта изнад њих. Овај начин писања користили су касније и Византијци, али се данас више тако не пише.  

Питагорејци, дружина филозофа коју је у 6. веку п.н.е. основао Питагора из Самоса, открили су много значајних математичких правила и раширили их међу старим Грцима. Касније су велики филозофи попут Платона и Аристотела прихватили и објаснили многа питагорејска учења.

Међутим, као што је и основано, друштво питагорејаца се распало због бројева. Један од чланова ове групе, Хипас из Метапонта, покушавао је да израчуна дужину дијагонале у квадрату странице 1, али је установио да она не може да се представи односом два природна броја. Математичари данас знају да је та дужина једнака √2, корену из броја 2, што је ирационалан број који не може да се представи разломком.

Хипасово откриће је ужаснуло питагорејце који су веровали да све ствари, а међу њима и дужина једне дијагонале, сигурно могу да се представе природним бројевима. Неки питагорјци су извршили самоубиство после овог сазнања. Остали су почели да се свађају међу собом и друштво се потом распало на два дела.

Данас је познато да бројеви могу бити рационални и ирационални, већ према томе да ли могу или не могу да се запишу разломком. Најпознатији ирационалан број је √2, али је такав и √3, као и многи други.

Најзанимљивији ирационалан број је такозвани Лудолфов број, познатији као π, Пи, чија се вредност 3,1415926535897932384626433832795…. записује бесконачним низом цифара, али се најчешће користи само као 3,14. Испрва коришћен само за израчунавање обима круга помоћу пречника (О=Р π), Пи је постао незамењив у модерној науци као константа која се налази у већини формула математике и физике.

БРОЈЕВИ

Центар за промоцију науке организује националну научнопопуларну манифестацију Мај месец математике која ће математику извести на улице, тргове, галерије и друге јавне просторе. Тим поводом, Елементаријум доноси серију прича о бројевима.

Истражите Малу школу математике.

Истражите креативни атлас великих математичарки.

У 6. веку п.н.е. у Грчкој живео је филозоф Питагора. Пореклом из града Самоса, он је путовао у Египат и Азију где је у развијеним и богатим краљевствима Истока учио о астрономији, математици и физици. Када се вратио у Грчку, окупио је око себе бројне младе филозофе.

Ова дружина, названа питагорејци по учитељу који их је основао, у много чему је личила на религиозну секту.

Као и друга слична друштва у то доба, питагорејци су упражњавали разноврсне чудне ритуале – говорили су у стиховима, носили само беле хаљине, покушавали су да достигну просветљење кроз музику и напрегнуто размишљање, поштовали су строга монашка правила живота и никада нису јели грашак и пасуљ јер су веровали да после смрти људске душе прелазе у те ситне плодове.

Но, за разлику од других секти, предмет њиховог обожавања није било неко одређено божанство, већ бројеви. Њихов учитељ Питагора тврдио је да су „све ствари бројеви“. Он је запазио да се исте хармоније могу произвести различитим музичким инструментима, примећујући да се тонови увек производе у одређеним математичким пропорцијама. Уз запажање да је троугао одређен дужином својих страница, као и да се планете по небу крећу по извесним математичким правилима, Питагора је изградио читав култ бројева.

Питагора је данас ипак најпознатији по Питагориној теореми, коју је често користио. Она каже да је квадрат над хипотенузом у правоуглом троуглу једнак збиру квадрата над катетама. Мада се тако зове, погрешно се мисли да је ову теорему доказао Питагора.   

БРОЈЕВИ

Центар за промоцију науке организује националну научнопопуларну манифестацију Мај месец математике која ће математику извести на улице, тргове, галерије и друге јавне просторе. Тим поводом, Елементаријум доноси серију прича о бројевима.

Истражите Малу школу математике.

Истражите креативни атлас великих математичарки.