Текст: Слађана Шимрак

У уторак, 20. марта, председник Норвешке академије наука Уле Сајерстед саопштио је име шеснаестог лауреата престижне Абелове награде за изузетан математички допринос. Ове године признање је додељено канадско-америчком математичару Роберту Лангландсу са Инстутута за напредне студије у Принстону (IAS), творцу Лангладсовог програма, који истражује везу између два стуба модерне математике: теорије бројева и хармонијске анализе. Образложење одлуке дао је председник комитета за доделу Абелове награде, Јон Рогнес, а након њега је научнопопуларни писац Алекс Белос одржао кратко предавање о темама којима се бави професор Лангландс.

Иначе, ово је други пут да Абелова награда одлази у ову принстонску установу, након што је 2013. године додељена белгијском математичару Пјеру Делину.

Музика и бројеви

Хармонијска анализа у основи представља теорију која је настала проучавањем периодичних таласа као што је синусоида. Развој хармонијске анализе као математичке области почео је средином 18. века, али су му претходила запажања о теорији треперења жица код музичких инструмената и сличних физичких појава. Важан део ове области који је нарочито занимао Лангландса и његове сараднике су аутоморфне форме. Оне су настале као генерализација идеје о периодичним таласима и изражене су геометријским језиком.

Са друге стране, теорија бројева се бави проучавањем аритметичких односа међу бројевима. Једно од важних знања ове гране математике је решавање полиномијалних једначина. Наиме, у случају решавања квадратних једначина добијамо два решења. Она могу бити реална, комплексна или решења која се поклапају. У сваком од ових случајева једно решење добијамо као збир два броја, а друго као разлику та два броја. Дакле, решења су врло слична, а потребно је само променити аритметичку операцију или, другим речима, примећујемо одређену симетрију међу њима. Групе оваквих симетрија проучавао је млади француски математичар Еварист Галоа још почетком 19. века, па се у његову част скуп ових симетричних релација назива Галионим групама.

Лангландсов програм

Још 1967. године тридесетогодишњи математичар Роберт Лангландс је наслутио да постоји значајна и дубока веза између ове две наизглед потпуно различите математичке гране. Он је своју идеју наговестио у писму познатом француском математичару Андреу Веју. На почетку писма дугог седамнаест страна, он каже: „Ако будете вољни да ово прочитате као пуку спекулацију, био бих вам веома захвалан. Ако не, сигуран сам да надомак руке имате корпу за отпатке.“

Ипак, његову визију су прихватили многи математичари и тако је настао Лангландсов програм, велики спектар конјектура о вези између хармонијске анализе и теорије бројева. Овај подухват се сматра највећим пројектом у модерној математици и већ педесет година заокупља бројне математичаре широм света. Професор Едвард Френкел са Берклија назива га „Великом уједињеном математичком теоријом“.

Захваљујући великом математичком колективу данас је то једно од најплоднијих математичких изучавања. Многе претпоставке још чекају доказ иако се верује да су тачне, а многе су и доказане, на пример доказ фундаменталне леме коју је Лангландс поставио 1983. године изложили су 2009. године вијетнамски математичар Но Бао Чау и његов ментор Жерар Ломон, за шта је Но Бау Чау наредне године награђен Филдсовом медаљом.

Концепт који је од суштинског значаја за развој ових Лангландсових идеја зове се модуларна аритметика. То је аритметички систем код ког се бројеви враћају на почетак након достизања одређене вредности. Најпознатија примена ове аритметике је у мерењу времена. Рецимо да је тренутно 17 часова, за 13 сати неће бити 30 већ се мерење „поништава“ код 24 часа, па ће одговор бити 6 сати идућег дана. Ову теорију је увео немачки математичар Карл Фридрих Гаус, нарочито се занимајући за употребу модуларне аритметике у решавању квадратних једначина. 

Лангландсова употреба ових знања може се добро видети на примеру елиптичке криве која је задата полиномијалном једначином. Ако посматрамо решења ове једначине по сваком модулу, уколико су модули прости бројеви, добићемо један низ бројева. Исти низ може да се добије помоћу другог математичког објекта који је налик периодичном таласу, а иза кога стоје методе хармонијске анализе.

Абелова награда

Абелова награда установљена је 2002. године поводом обележавања двестоте годишњице рођења норвешког математичара Нилса Абела. Додељује се једном годишње математичарима који су остварили изузетне резултате током научне каријере. Први лауреат био је Жан Пјер Сер 2003. године, а последњи лауреати су Џон Неш и Луис Ниренберг (2015), Ендрју Вајлс (2016) и Ив Мејер (2017).

Ова награда спада у сам врх признања за математичаре, заједно са Филдсовом медаљом која се додељује сваке четврте године и чије се проглашење очекује у августу 2018. Обе награде сматрају се еквивалентима Нобеловој награди, која се не додељује за математичке резултате. 

Поред плакете са ликом норвешког математичара Нилса Абела, добитнику награде следује и новчани део који износи око 750.000 евра. Роберт Лангландс је најавио да ће новчани део награде поклонити математичким институтима. 

Церемонија доделе је заказана за 22. мај и одржаће се на Универзитету Аула у Ослу.

Текст: Слађана Шимрак

Продајом Икозијанске игре једном лондонском дилеру 1859. године, Вилијам Хамилтон је зарадио укупно двадесет пет фунти. Судећи по његовом биографу, ово је био једини новац који је Хамилтон зарадио на својим открићима и публикацијама. Дилер је имао добро око: игра је, иако лагана, заживела и била је дистрибуисана у више продавница широм Енглеске и континента.

За играње је потребно имати човечуљка и додекаедар. Свако теме додекаедра представља по један град. Човечуљак се иницијално налази у неком граду и има за задатак да, путујући по ивицама тела, обиђе све градове тако да у сваки сврати само по једанпут, и да се потом врати у место из ког је кренуо. 

Сличне занимације су у неком облику постојале и много пре Хамилтона. Забележено је да је још у деветом веку индијски песник Рудрата састављао строфе такве да се њихови стихови могу читати на два начина: уобичајено, с лева на десно, или тако што се, полазећи од почетка, до сваке наредне речи стиже скакањем по строфи попут скакача у шаху. Скакачева путања занимала је многе писце, па ако убрзамо до двадесетог века, наићи ћемо нпр. на роман Жоржа Перека, Живот упутство за употребу, писан по овом шаблону. Али, њиме су се њиме занимали и математичари. Први је био Леонард Ојлер, али је коначно решење поставио немачки математичар Х.Ц. фон Варнсдорф.

Но, Икозијанска игра је, више него по својој тадашњој популарности, остала упамћена као пример једног од најпознатијих рачунарских проблема данашњице, и једног од оних који су се највише проучавали – проблема трговачког путника. Њега је формално дефинисао бечки математичар Карл Менгер, тридесетих година прошлог века, гостујући на Харварду, коначно подстичући интерес научне заједнице за његово решавање.

Похлепна метода

Проблем је постављен слично Икозијанској игри, али са једним додатком: потребно је, међу свим могућим решењима, пронаћи најкраћу путању такву да се обиђу сви градови. Дакле, трговац пред собом има одређен број градова који мора да обиђе и да се потом врати у онај из ког је кренуо – како да испланира посете тако да уштеди трошкове пута што је више могуће?

Задатак не звучи тешко. Уобичајен поступак је да се коришћењем исцрпне претраге преброје све могуће путање, и да се потом одабере најоптималнија. Ово је метода која готово тривијалним путем доводи до решења ако је у игри мањи број градова.

Друга метода која се често користи је похлепна метода. Идеја ове методе је да се крене од произвољног града и да се за наредни бира увек онај који је најближи. Овај алгоритам често даје добро решење, али како не узима у обзир све податке, није сасвим поуздан. Такође се користе и генетски алгоритми, засновани на еволуционим механизмима. Њихова предност је што у разумном времену углавном дају решење које је свега два или три одсто лошије од оптималног.

Но, ниједна од њих не представља универзално решење које ће гарантовати најбољи резултат у сваком случају. Разлог неуспеху је временска сложеност алгоритама, која је факторијелна. То значи да повећањем броја градова укупан број путања расте огромном брзином и рачунарима би практично било потребно бесконачно много времена да дођу до решења.

Тако, на пример, уколико трговац на својој турнеји мора да обиђе двадесет један град, он би требало да бира најбољу од укупно 20! путања, што је заправо број 2432902008176640000. Зато се овај задатак сврстава у такорећи нерешиве, барем у општем смислу, односно у задатке такозване NP класе.

Симболом P означава се класа проблема за чије се решавање може пронаћи алгоритам који има полиномијалну временску сложеност. Ово у највећем броју случајева значи да рачунар за релативно кратко време може доћи до резултата. С друге стране, када је реч о припадницима NP класе, ефикасан алгоритам за њихово решење вероватно не постоји. Поставља се питање да ли је могуће NP проблеме свести на P? Већина математичара је сагласна да то вероватно није случај, али доказ и даље није пронађен.

Но, често је довољно зауставити се на довољно добрим решењима, уместо настављати потрагу за најоптималнијим решењем. Тако разни проблеми који имају велике практичне примене имају у пракси задовољавајућа решења, а алгоритми који служе налажењу ових задовољавајућих решења зову се хеуристике.

Награда од милион долара

Међутим, задатак P=NP, као најпознатији нерешен проблем у рачунарству, налази се међу „Миленијумским проблемима“ за чије решење амерички институт Клеј нуди награду од милион долара.

Након што је Григориј Перелман пре петнаестак година затворио поглавље о доказу Поенкареове хипотезе, на листи Миленијумских математичких проблема остало је њих шест који и данас чекају на решење. И сваки је вредан по милион долара.

Задатак П=НП има трагове још у педесетим годинама прошлог века, и о њему су тада писали Џон Неш, Курт Гедел и Џон фон Нојман, међутим званично је дефинисан 1971. године, у раду Стивена Кука.

Ради се, дакле, о дилеми: ако рачунар може довољно брзо да утврди да ли неки проблем има решење, може ли такође брзо, пронаћи то решење? Како због своје свакодневне примене, тако избог миленијумске награде, тек, путујући трговац је тема која редовно привлачи и научнике и мејнстрим медије.

Бумбарева напредна логика

Мали пчелињи мозгови победили су рачунаре. Тако је гласио наслов у Гардијану, октобра 2010. Повод за текст било је истраживање које су недуго пре тога спровели биолози са два лондонска колеџа. Они су, наиме, уочили да се бумбари у свом лету са цвета на цвет, користе напредном логиком како би процес учинили што ефикаснијим.

У почетку, око бумбара су били постављени цветови тако да је сваки од њих садржао исту количину нектара. Бумбари су врло брзо, путем покушаја и погрешака, научили да одреде путању којом ће утрошити најмање времена и енергије. Али затим су научници пред њих поставили тежи задатак: променили су количине нектара тако да је сваки цвет имао различиту количину. Тиме су натерали бумбаре да одлуче хоће ли и даље пратити најкраћу руту или ће најпре посетити цвет са највише нектара.

Бумбари су и овде дошли до закључка повољног по себе. Уколико би проценили да ће се дужина лета тек незнатно променити уколико прво посете цвет са највише нектара, одлучивали би да тако промене своју путању. У супротном, уколико би се укупна дужина значајније повећавала, држали би се најкраће руте коју су смислили на почетку.

Сличан таленат за оптимизацију поседују и мрави. Истраживач у области вештачке интелигенције, Марко Дориго, описао је 1993. године хеуристичку методу „добрих решења“ проблема путујућег трговца користећи модел мравље колоније.

Дориго је користио чињеницу да је код мрава изражен феномен колективне интелигенције. Испуштајући феромон при кретању, и  пратећи која путања има највише феромона, чланови колоније међусобно размењују информације о окружењу.

Сваки мрав, са одређеном вероватноћом, бира наредно место које ће посетити на основу удаљености до тог места и количине испуштеног феромона. Мрав који је одабрао најкраћи пут оставља највише феромона, јер су дужина пута и количина феромона обрнуто пропорционалне. Тако остали мрави све више прате овај траг и како временом феромон испарава, путеви које мрави ређе користе остају без њега, и тиме убудуће не привлаче никога из групе.

УПС

Поред велике примене са основном поставком задатка, многи проблеми се могу свести на проблем трговачког путника, као што су проблеми у рендгенској анализи структуре кристала, проблем ефикасног паковања путне торбе, спајање компоненти матичне плоче рачунара и слично.

Принцип мравље алгоритма је, рецимо, једну од главних нашао у решавању проблема рутирања возила. Овај проблем се јавио педесетих година као централни проблем компанија које се, на пример, баве доставом пошиљки. Овде је потребно одредити минималан број возила који је потребан за извршавање задатака, као и руту која ће обезбедити највећу уштеду.

Компанија УПС, водећа светска компанија за доставу пошиљки, која свакодневно испоручује око четрнаест милиона пакета, од 2000. године ради на пројекту ORION (On-Road Integrated Optimization and Navigation). Њихов тим математичара свакодневно ради на проналажењу најефикаснијих возачких рута. Систем је први пут тестиран 2008. године, а како тврде, то им на годишњем нивоу доноси уштеду од преко 35 милиона долара.

Текст: Слађана Шимрак

Пре више година откривено је да шаре на кожи и крзну животиња прате одређене шаблоне изражене једначинама које је средином прошлог века извео математичар Алан Тјуринг. Међутим, новом студијом коју су спровели биолози, физичари и математичари са Универзитета у Женеви о љускастој кожи гуштера, први пут у историји су међу живим бићима уочени ћелијски аутомати, до сада углавном коришћени за рачунарску симулацију разних промена у биолошким и другим динамичким системима.

Женевски тим је показао да се током година боја љуске гуштера званог окати зелембаћ мења, те да се Тјурингов механизам трансформише у правила ћелијских аутомата. Овим истраживањем они су направили биолошку повезницу између математичког рада Алана Тјуринга и творца ћелијских аутомата Џона фон Нојмана. Резултат овог тима на чијем је челу професор Мишел Милинковић, завредио је насловну страну часописа Nature у априлу ове године.

Трансформација гуштера

Окати зелембаћ се најчешће може видети у приморским крајевима, и то у виноградима и маслињацима. Скоро пет хиљада љуски прекрива његово тело. Оне су по рођењу браон или беле боје, међутим, по достизању полне зрелости боје се трансформишу у црну и зелену.

Наоко су ове промене прилично упадљиве, имајући у виду да је окати зелембаћ изузетно велик гуштер. Заправо, сматрају га највећим и најелегантнијим европским гуштером. Дужине је углавном између тридесет шездесет центиметара, понекад достигне и читавих деведесет, а готово две трећине његовог тела чини реп.

Женевски тим је за потребе проучавања њихове коже посматрао развој три гуштера у периоду од четири године. Они су на почетку истраживања били стари свега две недеље. Међутим, и поред процеса комплетне промене боје током одрастања, најзанимљивија запажања десила су се код већ одраслих зелембаћа. Велики број појединачних зелених и црних љуски наставио је да се мења, прелазећи из зелене у црну и обратно.

У почетку се чинило да су ове промене насумичне, међутим, даљим посматрањем посумњали су да је ипак у питању алгоритам, и то алгоритам за креирање ћелијских аутомата. Уколико је зелена љуска била окружена мноштвом зелених, чинило се да ће сасвим сигурно постати црна. Уколико се око ње није налазила ниједна зелена љуска, остајала би зелена. Свака љуска је „имала“ информацију о томе које је боје сваки од њених суседа, и на основу тога је бирала своју боју.

Ћелијски аутомат

Ћелијски аутомати развили су се у лабораторијама Лос Аламоса, четрдесетих година. Њихови творци, математичари Станислав Улам и Џон фон Нојман, имали су за првобитни циљ креирање машине која би се самостално умножавала. Међутим, испоставило се да је механички приступ сувише компликован за контролу, па су одлучили да развију математичку апстракцију ове идеје коју су назвали ћелијским аутоматима.

Развој једног ћелијског аутомата условљен је низом правила која се примењују изнова и изнова. Правила су једноставна, али уз константно понављање могу да створе изузетно сложене форме.

Дакле, ћелијски аутомати су састављени од елемената повезаних у мрежу – у равни или у простору. Сваки елемент има иницијално почетно стање, нпр. жив или мртав, али није правило да број стања може бити само два. На пример, елементи Фон Нојмановог и Уламовог аутомата могли су да се налазе у неком од 29 различитих стања.

Даље, низом правила утврђујемо какво ће стање сваког појединачног елемента бити у наредном тренутку. На пример, уколико је жив елемент окружен мртвима, он ће и сам постати мртав. Исто се дешава и уколико је окружен искључиво живим ћелијама. Нешто другачија ситуација је уколико је окружење хетерогено, итд.

Из Нојмановог и Уламовог примера су се касније развиле многе, углавном једноставније варијанте од којих је најпознатија Игра живота коју је конструисао математичар Џон Конвеј.

Јасно је да се еволуција једног аутомата може исписати и ручно, уз разумевање правила, односно да за њу нису потребни нити рачунари нити нека софистицирана математичка знања. Како то да, тако једноставни, нису били описани и раније? Један од разлога је управо велики одскок од традиционалне математике. Такође, интуиција није дала повода мишљењу да би ови резултати могли да створе нешто нарочито занимљиво и сложено.

Но, како се касније утврдило, ћелијски аутомати представљају математичке приказе разних динамичких система. Показало се да су они изузетно корисни модели за опис понашања разних физичких, биолошких и друштвених структура, као што су раст биљака, проток саобраћаја или формирање снежних пахуља.

 Тјурингова једначина

Међутим, како гуштери праве овакве шаблоне? Користећи нумеричке симулације, научници откривају да дискретни Фон Нојманов ћелијски аутомат произилази из континуалног система који је Алан Тјуринг назвао „реакција-дифузија“.

Овај модел који је Тјуринг представио педесетих година, показао је на који начин се разни облици и шаре појављују код живих бића. У математичком смислу, то је диференцијална једначина која објашњава, нпр.  како хемијске реакције могу да створе пруге на риби зебрици и шаре на леопарду.

Међутим, када је проф. Милинковић покушао да пренесе модел рибе зебрице на окате зелембаће, није испрва наишао на подударање. Зато се фокусирао на ближу структуру коже гуштера, односно њену љускасту природу.

Ниједна љуска није равна: веома је танка на рубу, а дебља у средини. Узевши у обзир да Тјурингов механизам као један од параметара користи дифузију сигнала које ћелије производе и шаљу, Милинковић је закључио да је различита дебљина коже оно што утиче на Тјурингов механизам у овом случају.

У поновљеној симулацији Тјуринговог механизма, у којој је овог пута убројао неравнине и њихов утицај на проток сигнала између љуски различитих боја, шаблон који су уочили понашао се у складу са правилима ћелијских аутомата.

Но, како је сам математички апарат који стоји између Тјуринговог механизма и фон Нојманових аутомата веома различит, тиму се прикључио и добитник Филдсове медаље, Станислав Смирнов, који је извео  дискретизацију Тјурингових једначина и тако направио директну везу између њих и аутомата. Једна од истраживачица у тиму професора Милинковића, Анамарија Фофоњка, затим је имплементирала ове једначине у рачунарске симулације, стварајући систем који је неодвојив од Фон Нојманових аутомата.

Према речима ових научника, гуштер има овако специфичне особине ради лакшег уклапања у средину, а постизање математичког описа даје добар оквир и подстрек за даље разумевање биолошких процеса.

Текст: Слађана Шимрак

Лепа Јелена Спартанска имала је много просаца. Да би избегли међусобне сукобе у трци за придобијање њене наклоности, одлучено је склопе договор. Сваки од просаца, међу којима је био и Одисеј, положио је заклетву да ће, какав год исход ове просидбе био, сви остати међусобни пријатељи и да ће Јелени, као и њеном изабранику стајати на располагању у случају да их задеси било каква невоља.

Тако је касније, када је Парис одвео Јелену и њен изабраник Менелај најавио ратни поход против Троје, положена заклетва обавезивала Одисеја да му помогне да је врати. Уз то, грчкој трупи је било од важности да у својим редовима имају неког попут лукавог и способног краља Итаке.

Неспособан за војну службу

Одисеј је, међутим, сматрао да му одржање овог обећања није у интересу. Са Пенелопом је већ засновао породицу, а у једном пророчанству је стајало да ће, уколико буде учествовао у рату, бити осуђен на двадесет година изгнанства, изгубити све пријатеље и напослетку се као просјак вратити кући. Зато је, по доласку грчке делегације, покушао да избегне регрутацију.

Када су грчке вође стигле, затекле су празно острво. Тек су након целодневног кружења наишле на неког од користи, и то на Пенелопу са сином Телемахом у наручју. Изгледала је растројено, и на питање о мужу, краљица Итаке их је усмерила на пут ка плажи.

Стигавши на плажу, Грци су затекли коње и волове упрегнуте у плугове, и Одисеја како оре. Уместо семена, чинило се да је у бразде бацао со.

„Неспособан за војну службу“, незадовољно је закључио Агамемнон. Готово сви  су се сложили, једино је мудри Паламед сматрао да се Одисеј бави провидним триковима како би избегао одлазак у рат. Желећи да провери своју интуицију, зграбио је Телемаха из Пенелопиног наручја и спустио га на место које је Одисеј намеравао преорати.

Пред краља Итаке је тиме постављено питање: да ли ће наставити да оре, прећи плугом преко свог сина, и тиме истрајати у претварању да је изгубио разум?

Сврха митова, пише филозоф Мирча Елијаде у књизи Мит и стварност, лежи у пружању модела који нам откривају значење света, људске природе и самог људског постојања. У областима у којима је моћ митова разблажена, он сматра да ову улогу преузимају уметност и наука.

Лудак, преварант и микроекономија

Одисејеву дилему математичари често читају из угла теорије игара. Ово није случајно. Још је у петом веку пре нове ере Тукидид свео рат између Ахајаца и Тројанаца на питања микроекономије. Ако бисмо чак у потпуности следили пут овог ратног историчара, можда бисмо закључили да иза ове епске битке стоји оптимално распоређивање капиталних резерви у случају успешног продора на тржишта западне Анадолије.

Сусрет између Паламеда и краља Итаке доводи до концепта познатог под називом еквилибријум раздвајања. У њиховој игри учествују три играча: Паламед, лажни Одисеј – Одисеј лудак и прави Одисеј – Одисеј преварант. На почетку игре, Паламед нема информацију о томе која од ове две особе је прави Одисеј.

Овај недостатак се може превазићи тако што ће се на почетку насумице одабрати потез који ће одредити Паламедовог противника. Информација о структури игре тако постаје позната, међутим, она и даље није савршена. Паламеду је и даље позната само вероватноћа да се испред њега налази Одисеј преварант, односно Одисеј лудак, међутим „оба“ Одисеја увек тачно знају ко им је противник.

Прилику за први потез има Одисеј. Може одабрати стратегију уздржавања од било каквог исказа или глумити лудака. Уколико бира прву стратегију, то је стабилна подлога у којој Паламед одлучује хоће ли га пустити или регрутовати. Али, како је вероватније да ће га у том случају регрутовати, Одисеј се одлучује за другу варијанту.

Паламед одбија да прихвати пуштање Одисеја, па смишља алтернативну стратегију, и тада у игру уводи Телемаха. Тиме ситуација постаје напета по Одисеја.

Паламедова логика: уколико се Одисеј не претвара да је изгубио разум, он ће наставити да оре и вероватно убити сопственог сина. У случају да је реч о Одисеју преваранту, он је способан да донесе обе одлуке: како да се заустави, тако и да настави да оре, међутим, цена откривања идентитета је много мања од цене убијања сина.

Тиме се ствара еквилибријум раздвајања, односно ситуација у којој је у интересу обе личности да се понашају различито. Тако Паламедов механизам за откривање истине доводи до коначног разоткривања Одисејевог претварања.

Спенсов модел

Математички модели исте структуре као наведени мит о Одисеју, имају своју главну примену у економији. Један од најпознатијих примера је Спенсов модел образовања.

У поједностављеној верзији модела који је 1973. објавио економиста и добитник Нобелове награде за економију Мајкл Спенс, описује се игра одлуке при запошљавању кандидата на неки посао. Послодавци желе да запосле продуктивног радника, али у разговору не могу директно да утврде да ли одређени појединац припада продуктивном или непродуктивном типу.

Зато одлучују да се ослоне на кандидатов избор школе, уз претпоставку да ниво едукације није утицао на продуктивност већ управо супротно – да је продуктивним радницима било лакше завршити школу за разлику од непродуктивних, при чему су трошкови образовања били већи за непродуктивне раднике. Под овим претпоставкама, ту може да се уочи еквилибријум раздвајања где једино високо продуктивни радници завршавају школу, јер су за њих добити образовања веће од трошкова.

У Спенсовом моделу, послодавци су релативно пасивни, посматрајући искључиво ниво образовања. Паламед није могао да чека на спољашњи догађај који би створио еквилибријум раздвајања. Уместо тога, направио је тест којим је узроковао различито понашање две Одисејеве личности.

У оба примера, различити типови играча имали су различите функције корисности. Непродуктивни радници мање су волели школу од продуктивних, као што је Одисеј преварант ценио живот свог сина, за разлику од Одисеја лудака. Ове разлике су искоришћене за постизање еквилибријума раздвојености.

Дванаест секира

Након што је изгубио у игри, Одисеј је замрзео Паламеда. Регрутован је, а пророчанство се остварило. Краљ Итаке је осуђен на двадесет година изгнанства.

За то време, Пенелопу су опседали бројни удварачи, на све начине покушавајући да заузму Одисејев трон. Гледајући их како измишљају или преувеличавају своје вештине, притом трошећи Одисејев иметак, Пенелопа је одлучила да их тестира.

„Чујте ме, просци, ви сте присвојили право да пустошите у Одисејеву дому, а у исто време захтевате да се удам за једнога од вас. Па добро, нека сада томе буде крај. Пред вама је велик и чврсти јунаков лук. Онај који најлакше натегне лук и стрела му прође кроз дршке свих дванаест постављених секира, тога ћу изабрати за брачног друга“, пресудила је Пенелопа.

Просци су се ређали, али нико није ни приближно успео да се приближи Одисејевој снази и способности – не само да нису погодили свих дванаест секира, него нису успели ни да натегну лук. Лош низ је коначно прекинуо један странац, простреливши свих дванаест секира.

Пенелопа није знала да је то, у ствари, био маскирани Одисеј, а у први мах није ни поверовала. Тако овај тест, узевши у обзир да није био намењен разоткривању Одисејевог идентитета, већ проналажењу неког ко дели његове врлине, такође умногоме личи на Спенсов модел образовања.

Но, са малом разликом. У Пенелопином тесту није претешко за мање квалитетне просце да правилном употребом лука реше задатак који је пред њих постављен, већ је немогуће. Вредности цене су екстремне.

Узевши у обзир да се проблематика теорије игара успешно решава већ вековима, изненађује чињеница да је теорија игара једна од најмлађих математичких дисциплина. Она се као засебна област наслутила тек 1928. када је Џон фон Нојман објавио рад о постојању еквилибријума за мешовите стратегије код игара са нултом сумом. Шеснаест година касније, заједно са Оскаром Моргенштерном припремио је књигу „Теорија игара и економског понашања“ и она је представљала коначан увод у ову математичку грану.

Текст: Слађана Шимрак

„Срећан сам, изненађен, и помало се осећам кривим“, рекао је француски математичар Ив Мејер поводом добијања Абелове награде. Јуче је, на свечаној церемонији у Ослу, комитет за доделу овог признања које се сматра еквивалентом Нобелове награде у области математике, прогласио Мејера петнаестим добитником. У образложењу је наведено да је Мејер награђен због свог доприноса у теорији таласића, математичкој теорији са применама у компресији дигиталних података, радиологији и уочавању гравитационих таласа.

Проглашењу је присуствовао и професор Теренс Тао, који је Мејеру у телефонском разговору први саопштио вест, одржавши притом петнаестоминутно предавање у којем је представио значај Мејеровог рада, нагласивши да су његови резултати у области теорије таласића „променили ток обраде сигнала“.

Француски математичар Ив Мејер је своје прве научне доприносе дао у области теорије бројева, а потом је своју пажњу усмерио ка хармонијској анализи, где је радио на развоју метода за рашчлањивање сложених математичких објеката на мање компоненте у облику таласића. Убрзо је његов рад допринео конструкцији теорије за анализирање сложених сигнала са важним последицама за рачунарске и информационе технологије.

Шта су таласићи?

У основи, таласићи представљају кратке и оштре трагове попут срчаног пулсирања видљивог на ЕКГ монитору и сматрају се базом изградње дигиталног звука и обраде слика. Када се математички комбинују са другим непознатим сигналом попут звучног сигнала или слике, могу да се искористе за издвајање информација о почетном сигналу. Нарочито су корисни када имају за циљ одбацивање непотребних информација, као што је бука ниских фреквенција у свемирским истраживањима, притом чувајући важнији део сигнала попут одјека гравитационих таласа у судару две црне рупе.

Таласићи су надградња Фуријеове анализе која је теоријски развијана још почетком деветнаестог века. Француски математичар Жозеф Фурије је тада открио да се сложена таласна функција може поделити на мање компоненте, и његовом техником су на компактан начин могли да се прикажу делови информације као што су музичка нота или сеизмички сигнал. Ова метода могла је да се примени у проучавању стабилних сигнала попут непрекидног тона на неком инструменту, али није могла да се примени за издвајање краткотрајних сигнала у бучном окружењу.

Тек почетком двадесетог века, истраживачи су развили алгоритме за већу практичну употребу Фуријеове анализе, и овај период данас углавном означава почетак развоја анализе таласићима. Област којом су се научници тада највише бавили била је сеизмологија, а нарочито се истичу радови мађарског математичара Алфреда Хара.

До тридесетих година прошлог века постојао је континуиран рад научника повезан са овом теоријом. Међутим, након тога се угасио, и овакав статус је потрајао наредних педесет година, уз неколико појединачних доприноса. Тако је све до осамдесетих година теорија таласића остала релативно необрађена тема, пре свега због недостатка сарадње између математичара, физичара и стручњака за обраду сигнала. Данас су разлике у овим приступима готово у потпуности нестале.

Институционални номад

Крајем седамдесетих година, теорију су, између осталих, оживели хрватско-француски физичар Александар Гросман и француски сеизмолог Жан Морле уводећи у науку термин таласић. Ова двојица научника су, на основу физичке интуиције,  дефинисали “таласиће константног нагиба“ у контексту квантне физике, и тиме је започета целовита теорија таласића.

Међутим, све до појаве Ива Мејера, ови алати нису достигли свој пун потенцијал. Средином осамдесетих, он је конструисао скуп таласића чији би значај могао да се пореди са Фуријеовим открићем, али се често сматра и већим резултатом. Мејеров рад је показао да алати развијени за потребе обраде сигнала могу да нађу своју примени у компресији података. Рачунарски алгоритми засновани на таласићима налазе се међу стандардним алатима за обраду и анализу података и чување информација. У медицинској дијагностици користе се да би убрзали процес стварања слике при вршењу магнетне резонанце, а омогућују и оптимизацију величине филмова високе резолуције, претварајући их у датотеке погодније за управљање.

Ив Мејер за себе тврди да је интелектуални и институционални номад, и да не може да издржи више од десет година радећи на истом департману за математику.  У прошлости је радио на више универзитета, а данас је његово радно место установа École Normale Supérieure, где има титулу професора емеритуса.

Каријеру је започео као наставник у средњој војној школи, желећи да избегне војну регрутацију поводом aлжирског рата за независност. Према једном ранијем интервјуу, ово искуство му је обликовало живот, али је ипак осећао кривицу бивајући „једини који је увек у праву, док ученици углавном греше“.

Додела овогодишње Абелове награде најављена је за 23. мај на Универзитету Аула у Ослу.

Текст: Слађана Шимрак

Смрт Џорџа Прајса дошла је неочекивано. Самоубиство поред поломљеног прозора у једном од лондонских сквотова, прохладног 6. јануара 1975. године. Сахрањен је у присуству десетак људи.

Шесторо пријатеља бескућника нашли су се ту, на необележеном гробу, заједно са двојицом најзначајнијих еволуционих биолога тог времена, Билом Хамилтоном и Џоном Мејнардом Смитом, реткима из научног света који су разумели значај Прајсових доприноса.

Сви су се опростили од овог рођеног Њујорчанина, за којег је комисија на пријемном испиту на Харварду рекла: „Можда ће пошашавити, али сигурно никада неће постати досадан.“

Њујорк

Тридесетих година, упркос општем суноврату западног света узрокованог Великом депресијом, њујоршки дух је и даље био непобедиво жив. За просечног младића то је била деценија у којој је рођен Супермен, великог Бејба Рута наследио је Џо Димађио, а у Карнеги холу први пут је изведена популарна музика.

У Њујорку је тих година одрастао и Џорџ Прајс, ћутљиви дечак који није нарочито марио за ову разиграност. Међу његовим плановима најзначајнији је био – уписати своје име у научну историју. Већ са четрнаест година, као стипендиста једне престижне приватне школе на Менхетну написао је седамдесетак страна дугачак рад о архитектури старогрчких храмова, на којем би му позавидели многи универзитетски професори.

Ипак, највише је међу школским предметима волео математику и физику. На часовима геометрије седео би у задњем делу учионице и тек би повремено подигао поглед и тихо дао одговор који нико од осталих ученика не би разумео. Тада је желео да постане физичар.

Међутим, због разних последица економске кризе, једанаести разред је уписао у нешто удаљенијој бесплатној школи. Џорџ Прајс је био део златне генерације ове школе. После наставе би остајао у лабораторијама са будућим нобеловцем Џошуом Ледербергом, будућим пиониром магнетне резонанце Џозефом Фајлом, Бејдер близанцима, који ће постати надалеко чувени професори медицине, кошаркашем Натом Милицоком и композитором Кајом Виндингом. Ипак, чак и у овако снажној групи, Прајса су доживљавали као посебног.

Када је дошло време за студије, у пријави је своја интересовања описао стихом из песме Уликс, Лорда Алфреда Тенисона:

„Пратити знање као звезду која залази

иза најдаљих граница људске мисли.“

Тежњу да постане значајан део научне историје покушао је да оствари на Харварду. Међутим, незадовољан својим научним доприносом који је постигао током година, и још се опорављајући од операције тумора штитасте жлезде, 1967. године напустио је Њујорк, своју супругу и две кћерке, и стигао у Лондон.

(Не)себична добра дела

Бивајући усамљен у новом граду и размишљајући о напуштању своје породице, Прајс је највише времена проводио у јавним библиотекама, читајући о проблему еволуције породице. Тако је наишао на текстове тада релативно непознатог еволуционог биолога Вилијема Хамилтона о генетској еволуцији социјалног понашања. Хамилтонов рад дао је математички модел којим је доказана важност сродности у овом процесу.

Ова теорија имала је своје почетке још у радовима Роналда Фишера и Џона Халдејна. Позната је наводна Халдејнова изјава да би „дао живот за двојицу своје браће или осморицу рођака“.

Хамилтонов рад нуди математичко објашњење еволуције алтруизма у широј породици. Према њој, цена сопствене жртве коју ће јединка да принесе за добробит породице мања је од производа коефицијената који описују степен повезаности жртве и породице, односно примаоца, и користи коју ће тај прималац имати. Најједноставнији пример за ово је ујед пчеле – цена жртвовања сопственог живота мања је од користи коју ће због те заштите имати цела њена кошница.

Ови резултати су означили прекретницу у разумевању еволуционе биологије. Постало је јасно да гени нису „одани“ у толикој мери као што се до тада мислило, односно да је једино важно да њихове копије преживљавају у телима других, чак и ако смо ми мртви. Ову идеју је касније популаризовао Ричард Докинс у књизи Себични ген, описујући у њој људе као „роботска возила, слепо програмирана да сачувају себичне молекуле познатије као гене“.

Хамилтонов приступ имао је одређена ограничења, што је касније препознао Прајс. Занимало га је, пре свега, да ли је Хамилтон имао доказ и о постојању гена који омогућују својим носиоцима да детектују присуство копија тих истих гена у другим телима? Другим речима, да ли је могуће „осетити“ генетску сличност са другима?

Убрзо, Прајс је дошао до нове једначине која је описивала не само Хамилтонову теорију о селекцији коју ће каснији научници назвати „сродничком селекцијом“, него и еволутивне промене у општем случају. Прајсова једначина у потпуности је дефинисала везу између особина које јединка поседује и способности њеног опстанка, као збир коваријансе и очекивања, при чему је коваријанса мера повезаности – уколико имате особину која је позитивно повезана са способношћу опстанка, она ће се све чешће појављивати.

Очекивање представља фактор који ремети процес природне селекције којим се бави коваријанса. На пример, један од ових фактора могао би да буде себични ген чије понашање уништава појединца. Овим Прајсовим радом омогућено је сагледавање природне селекције из нових углова. Тиме се, између осталог, поставило и питање о пресликавању понашања појединаца на понашање целих популација. Да ли се популације међусобно такмиче на исти начин на који то раде појединци? Такође, да ли се себични гени понашају слично себичним људима?

Тиме су започета моделирања особина и способности опстанка целих група, као и процене утицаја себичних појединаца на опстанак целе групе, слично односу себичног гена и опстанка појединца. Прајсова једначина је објаснила како се разлог еволуције неких особина понашања налази у њиховој користи за неки ентитет попут друштва, породице, појединца или самог гена. Она је показала да, када се према нечему односимо с љубављу, заправо радимо на пажљиво подешеној скали сопственог интереса, односно да не постоје несебична добра дела.

Еволуција стабилне стратегије

Иако је током целог живота био изразити атеиста, што је био један од фактора који су утицали на распад његовог брака, Прајс је у Лондону постао члан евангелистичке цркве, опсесивно проучавајући Библију у потрази за скривеним кодовима. Сматрао је себе робом који прима директне наредбе од Бога, и месијом којег је божанство послало да човечанству открије тајне.

Ипак, његове нове идеје о еволуцији друштва нису се загубиле међу овим фантазијама. Након што је коначно постао признат у области еволуционе биологије, вратио се изучавању Хладног рата и започео проучавање теорије игара, нарочито са освртом на Нешов еквилибријум, стање у којем се сваки појединац понаша тако да се максимизује добробит целе групе.

Џон Неш, амерички математичар, своју докторску тезу под називом „Некооперативне игре“ у којој је дефинисао Нешов еквилибријум, одбранио је 1950. У њој се супротстављао тезама економисте Адама Смита, који је тврдио да једино индивидуална амбиција доноси опште добро, доказујући да су најбоље одлуке оне које су базиране на потезима других.

На применама Нешових открића, Прајс је радио заједно са еволуционим биологом Џоном Мејнардом Смитом. Први заједнички рад објавили су 1973. у часопису Nature, под називом Логика животињских сукоба, представљајући идеју еволуционе стабилне стратегије (ЕСС).

За разлику од „обичне“ теорије игара, еволуциона теорија игара не претпоставља рационалност учесника. Она се темељи на идеји да природна селекција показује колико је добра стратегија коју организам већ поседује.

Eволуционa стабилнa стратегијa дешава се када цела популација усвоји стратегију у понашању такву да ниједна алтернативна стратегија не може да је победи. Као у Нешовом еквилибријуму, ово се дешава када појединац у сваком кораку процеса доноси најбоље одлуке за себе које се заснивају на одлукама које су донели други учесници у „игри“.

ЕСС, на пример, објашњава разлог због којег ирвас има масивне рогове који су више декоративни него опасни. Она показује корист појединца која се добија уколико ирваси имају могућност да уђу у сукобе, али да борба не буде екстремнна, чиме се постиже ограничење штете.

Смрт

Поведен својим резултатима о непостојању несебичне љубави и жртве и новим погледима на религију, Прајс је почетком седамдесетих одлучио да тестира границе свог алтруизма. Сву своју имовину донирао  је бескућницима у једном лондонском насељу, па је убрзо и сам постао бескућник. Ипак, ово му није било довољно. Према речима његовог биографа, Прајса и је и даље мучило питање искрености – да ли је поклањање свега што је поседовао заиста одраз истинске несебичности?

У писму Мејнарду Смиту 1972. године, он каже: „Имам укупно 15 пенија. Уверавам себе да ће божји стандарди катастрофе ускоро бити задовољени. Жељно ишчекујем да ових петнаест пенија нестане.“ Живот на улици уморио је Прајса у много већој мери него што је то очекивао. И иако је повремено био у комуникацији са старим колегама, падао је у све дубљи очај.

Његова смрт прошла је готово незапажено. Вест је објавио само један студентски лист: „Истакнути генетичар са Универзитетске болнице одрекао се свега, укључујући и сопствени живот, због својих религијских убеђења. Свој новац, одећу и имовину поклонио је бескућницима алкохоличарима и напустио свој дом да би живео као сквотер, где је и нађен мртав. Поштовани др Прајс био је убеђен да је имао директну телефонску везу са Исусом.“

Текст: Слађана Шимрак

Док се свакодневно истражују природе експлозија у различитим крајевима света, број „рецки“ које означавају овогодишње инциденте повезане са терористичким деловањем широм планете премашио је 1200. Ипак, глобални индекс тероризма показује да је 2015. први пут у последњих неколико година забележено благо смањење броја жртава.

Највећи део напада изведен је у подручјима захваћеним ратом, као и у земљама које су умешане у насилне конфликте у неком делу света. За три четвртине напада одговорне су четири велике групе: Исламска држава, Боко Харам, Талибани и Ал-Каида.

Каква је улога науке у борби против тероризма? Може ли она да објасни овакав тренд и направи предвиђања којима би се спречили или умањили даљи напади? Постоји ли какав шаблон који прати ово понашање? Неке одговоре покушава да понуди такозвана чиста социологија.

Чиста социологија

Чиста социологија, област коју је први увео амерички социолог Доналд Блек средином седамдесетих, даје објашњење људског понашања кроз „социјалну геометрију“, односно место и усмерење понашања у вишедимензионалном социјалном простору, где у димензије убрајамо параметре као што су језик, религија, степен интеграције, неједнакост, постојање група и социјалне контроле. Конфликти у којима су противници на већој удаљености у овом простору су већи.

За почетак, чиста социологија насиља ослобођена је психологије. Она не узима у обзир људски ум, мисли, осећања, сврхе и циљеве. Игнорише чак и „људско“ у понашању, посматрајући га у најстриктнијем облику као понашања у биологији, уметности или правима. Све се своди на елементе геометрије социјалног живота у које спадају социјална растојања, усмерења и социјалне висине.

Већина насиља углавном представља облик самопомоћи, односно агресивно суочавање са неправдом или невољом. У агресивну самопомоћ убрајају се сукоби појединца, али, на пример, и бомбардовање целог града или етничко чишћење.

Насиље је непредвидиво и необјашњиво само уколико за његов темељ поставимо индивидуалне, односно групне карактеристике, сматра Блек. У прву групу се убрајају лична веровања и фрустрације, а у другу, рецимо, степен неједнакости у одређеној групи људи или њихове културне вредности. Он наводи да насилни појединци или насилне групе не постоје, односно да ниједан појединац или група нису насилни у сваком погледу све време. Према овој тврдњи, такође ниједна теорија која се заснива на индивидуалном или колективном не може да објасни или предвиди насилно понашање. До насиља доводи насилна социјална геометрија конфликта.

Дакле, за објашњавање насиља потребно је имати тачну позицију, као и усмерење у социјалном простору. Што је већа удаљеност различитих димензионих параметара, то је већа деструктивност. Према овом геометријском моделу, до тероризма неће доћи уколико су конфликти индивидуални, као и тамо где долази до сукоба са једнакима, социјално инфериорнијима, односно где су противници на мањем растојању (на пример, ако су чланови исте етничке заједнице). 

Док је раније геометрија физичког простора имала једину улогу, данас то није случај. Највеће насиље, попут бомбардовања градова, дешава се управо између противника који су на великим физичким удаљеностима, као и социјалним. Тиме посматрање параметара социјалне геометрије постаје неопходан и довољан услов за предвиђање могућих терористичких напада.

Као један од могућих бољитака на плану сужавања терористичког деловања, Блек наводи модерну технологију. Како она омогућава лакшу комуникацију и транспорт, долази до стварања осећаја интимности између појединаца, као и до културне хомогености. Ово би, наравно, могло довести до лакшег и смртоноснијег спровођења тероризма, али на дуже стазе технологија би могла уништити социјалну геометрију од које заправо појава тероризма и зависи.

Хоксов модел

С друге стране научне жице математичари раде на вероватносним проценама будућих напада. Истраживачи са Универзитетског колеџа у Лондону, Хана Фрај и Стивен Тенч, дају математички модел који би могао да предвиди, односно спречи будуће терористичке акције. Прва предвиђања овог типа дата су још 1898. године, када је руски економиста и статистичар Владислав Борткевич уочио шаблон за процену броја пруских војника које су ударцима убијали њихови сопствени коњи. Овакви инциденти су у то време били јако чести.

Борткевич је за ове моделе користио од раније познату Пуасонову расподелу, али она је у обзир узимала само низ међусобно независних догађаја што би у овом случају била претпоставка да коњи не планирају акцију и не договарају се међусобно о томе како ће је извести. У резултатима је могло да се уочи када је највероватније да ће доћи до великог, малог или просечног броја инцидената.

Теорију која узима у обзир догађаје који зависе једни од других разрадио је седамдесетих година математичар Алан Хокс бавећи се природом учесталости земљотреса. Схватајући да се након једног земљотреса често у непосредној близини догоди барем још један афтершок, он је одредио правило којим описује динамику појављивања нових инцидената.

Стварајући истовремено теоријску подлогу, математичари су успели да изведу једначине које ће потом имати примену у разним областима почевши од предвиђања рецидива одређених болести, преко неуронаука, зоологије и ботанике, све до маркетинга и рачунарства. На овом трагу радили су и математичари Фрај и Тренч, служећи се претпоставком да су серије терористичких напада зависни догађаји, односно да постоји велика вероватноћа да ће се након првог сличан догађај поновити у кратком року. Њихов узорак било је неколико хиљада експлозија у Северној Ирској које су се догодиле у периоду између седамдесетих и краја деведесетих година.

Установили су да је учесталост ових инцидената у времену пратио шаблон који се подудара са оним који описују једначине Хоксовог поступка: после једног инцидента, у кратком року јављају се и други, а потом се на неко време ситуација враћа у нормалу. Значај ове анализе је вишеструк. Она може да се користи у циљу проналажења шаблона који нису уочени у терористичким активностима у прошлости, али може да служи и у реалном времену за предвиђање нових напада, као и да процени ефекте деловања противтерористичких организација.

Иако је занемарен људски фактор при оваквом моделирању, примене Хоксовог поступка већ су показале добре резултате. Неке полицијске снаге у САД користе ове једначине имплементиране у ајпед апликацију која им даје обавештења о „црвеним зонама“, односно о местима која у том тренутку носе највећи ризик за одигравање пљачке, неког вандализма или другог инцидента са жртвама. У неким областима број успешно изведених провала и пљачки тиме је умањен за више од тридесет одсто.

*Текст је илустрован култном фотографијом Томаса Хепера 11. септембар, која приказује групу људи који, несвесних да се нешто догађа, седе на бруклинској страни док трају терористички напади на Њујорк

Текст: Слађана Шимрак

Средином четрдесетих година прошлог века, професорска комисија Универзитета у Чикагу једногласно је одбила студентску мастер тезу под насловом „Варирање између добра и зла у једноставним причама“. У образложењу су навели да ово истраживање звучи „сувише једноставно“ и да изгледа „превише забавно“.

Вежба релативности

Кандидат који је потом напустио факултет без жељене дипломе био је Курт Вонегат, тада студент антропологије, и будући писац класика америчке контракултуре. У одбијеном мастер раду бавио се проналажењем одређених шаблона који представљају „костур“ сложенијих наратива. Он је сакупио приче из широког културног спектра – почевши од Библије, преко казивања америчких домородаца, па све до кратких прича објављиваних у популарним часописима.

Иако је мастер рад у целини изгубљен, Вонегат је ово сматрао својим “најлепшим доприносом култури”, па о овој теми наставио да размишља и често је представљао делове текста у својим каснијим јавним наступима. Тада би своја запажања илустровао цртањем графика који означавају токове различитих прича.

Хоризонтална оса графика представљала је проток времена, а на на вертикалној је постављен интервал степена задовољства главног јунака: у доњој крајњој тачки налазило се сиромаштво и болест, а у горњој здравље и богатство. За резултат би добијао криве које би потом, упоређивао и сврставао у исте или различите групе. „Ово је вежба релативности. Облик криве је оно што је важно“, говорио је.

У резултатима је наводио да Пепељугу, на различите начине, пише вероватно на хиљаде писаца у свету, као и да је њен график истоветан графику који описује стварање, пад и искупљење у Старом завету.

Курт Вонегат, наравно, није био први који је тражио шаблоне и обрасце у приповедачким манирима и показивао да су неки редоследи емоција  који се стварају током приче популарнији међу публиком од других.

Аристотел је, пре готово две и по хиљаде година у Поетици описао једноставно правило које прозни аутори и данас користе. Оно каже да кључ доброг развоја приче садржи само три појма: сажаљење, страх и катарзу, односно уздизање изнад чулног и телесног.

На почетку приповедања, успоставља контролу над читаоцем изазивајући његово сажаљење према карактеру. Затим, постављајући јунака приче у све опасније ситуације, читалац почиње да страхује за њега, и коначно, када јунак изађе из опасности, читалац доживљава катарзу и олакшање.

Писац Борилачког клуба, Чак Палахњук, даје сличан рецепт: „Добра прича треба да вас засмеје, а тренутак касније да вам сломи срце.“

Ипак, ова правила су тек недавно добила и своју прву научну интерпретацију. Досадашње претпоставке су говориле да постоји између три и четрдесет емоционалних путања од којих су сачињене успешне приче. Један од најзначајнијих радова на ову тему објавио је новинар и писац Кристофер Букер 2005. године, под насловом „Седам основних фабула: зашто приповедамо?“

Aнализа сентимената

Недавно, група са Департмана за математику и статистику Универзитета у Вермоту, објавила је студију у којој предност даје броју шест.

Верујући да је емоционално искуство које књига изазива у читаоцу често интегрални део приче, извршили су, најпре, анализу сентимента. За извор је коришћено нешто више од хиљаду седамсто најпопуларнијих прича из дигиталне библиотеке Пројекат Гутенберг, дужина између десет и двеста хиљада речи.

Анализа сентимента се користи за издвајање потребних информација из одређеног извора уз помоћ обраде природних језика, рачунарске лингвистике и анализе текста. Тим научника на челу са Ендијем Реганом, докторандом на одсеку за математику ове установе, из извора је издвојио могуће читалачке доживљаје садржаја који се разоткрива у причи, а затим су из овог скупа одредили и најчешће емоционалне путање.

Полазна претпоставка ових анализа се састојала у томе да свака реч има позитивни или негативни утицај, чиме оне представљају меру емоционалних промена у тексту. Истраживачи су „научили“ рачунар да преузме све речи из књиге, и мери просечан позитиван или негативан утицај који сваки сегмент текста има на основу утицаја сваке речи понаособ.

Шест емоционалних графика

Напослетку је опис промене емоција у тексту представљен кривама, и научници су издвојили шест најчешће понављаних. Прва крива која се издвојила показује константни емоционални раст, а најпопуларнији пример овог шаблона је роман Алиса у земљи чуда. У овом облику су највише уживали сами писци: око петина анализираних прича написана је у овом маниру.

Значајно место у првих шест заузима и крива која формира стални емотивни пад, што се најбоље осликава у трагедији о Ромеу и Јулији. Прво пад, па онда успон описује крива мита о Икару, успон-пад-успон сусрећемо код Пепељуге, а пад-успон-пад у миту о Едипу.

Облик приче који је најпопуларнији међу читаоцима, показује ово истраживање, је онај који одговара примерима Едип и Икар, као и приче које прате сложеније путање које које су композиција неких од ових основних. Најпопуларније приче описује крива коју чини низ два „пад-успон“ одсечка, један пад-успон-пад, и на крају, трагедија.

Иако су научници у овом пројекту били усредсређени на емоционалне кривуље, а не структуре фабуле, наишли су на преклапања између ова два графика.

„Нема разлога да једноставнији облици прича не могу бити исписани рачунарски. То су предивни облици.“, говорио је Курт Вонегат на једном предавању 1995. године. Ово истраживање је први значајнији помак у том правцу. Ипак, оно је тек почетак. У овом, првом, кораку оно не проучава подскупове једне приче као што су параграфи, узимајући ширу и општију приповедачку слику.

Такође, базира се на делима писаним на енглеском језику, што, како сматрају, оставља простор даљем проучавању када се као аргументи додају различите културе и језици, односно укуси различитих временских епоха.

Тренутни ступањ у развоју рачунарства, обраде природних језика и дигитализације текста даје нам могућност проучавања еволуције културе кроз текстове користећи „биг дата“ објектив, односно алате за анализу велике количине података.

Научници наводе да би овакав приступ могао да се примени и у супротном смеру. Разумевање оваквих графика могло би допринети развоју здравог разума у системима вештачке интелигенције. Резултат би могла бити дела која би у потпуности потписивао рачунар.

Међутим, то се неће десити у скорије време. Поред фабуле, структуре и емоционалних промена које прате причу, рачунар ће морати да савлада писање различитих карактера, као и убедљивих и смислених дијалога.

 Текст: Слађана Шимрак

Ескимске царске шљуке и америчке златне звиждовке летеле су у великом јату када их је угледала Колумбова посада. Ниња, Пинта и Санта Марија, три брода ове експедиције, пошла су за птицама и након пет дана стигла до копна; острва, недалеког од америчке обале. Назвали су га Сан Салвадор. Био је 12. октобар 1492. године.

Два месеца раније, Колумбо је из мале шпанске луке Палос де ла Фронтера испловио на запад преко Атлантика. Наоружан прорачунима, кренуо је у потрагу за Индијом и њеним залихама злата, бисера и зачина. Био је сигуран да је тог дана дошао до циља и да је мало острво у данашњим Бахамима почетак индијског пространства. Како је дошло до оволиког превида?

Арапска и римска миља

У петнаестом веку било је већ добро познато да је земља сферног облика, међутим, непозната је била њена величина. Научници су покушавали да је израчунају вековима пре Колумба. Ератостен је, на пример, око двеста година пре нове ере направио прорачун са грешком од око једног процента, оценивши да је један степен географске ширине дугачак 59,5 наутичких миља. До мање прецизних резултата дошао је персијски астроном Алфраган у деветом веку, који је израчунао да ова дужина износи 56,67 наутичких миља.

Заснивањем рачунице на Алфрагановим мерењима, једна за другом, нижу се Колумбове грешке. Највећу је направио мислећи да је Алфраган изражавао растојање у римским миљама, при чему у данашњим мерама једна римска миља износи 1480 метара. Међутим, персијски учењак је говорио о далеко већим арапским миљама од којих је свака дуга 2.161 метара.

Тако је Колумбо “скратио” обим Земље за нешто мање од десет хиљада километара, односно направио грешку од око двадесет пет процената. Даље грешке је гомилао желећи да усклади мапу са прорачунима. Позивајући се на Птоломеја, Марка Пола и грчког картографа Мариноса из Тира, проценио је да је Јапан тек незнатно удаљен од Азорских острва. Ово је значило да је Индија удаљена само 5.704 километра од Канарских острва, док стварна удаљеност износи око 13.544 километра. Неки историчари сматрају да је све грешке намерно створио покушавајући да оправда овај пут у непознато, но, тешко је утврдити коначну истину.

Међутим, да ли су овакве грешке мерних јединица могуће и данас, пет стотина година након Колумба, или су давно превазиђене? Јесу ли их спречиле развијене технологије и наука, као и чињеница да се већина земаља данас служи мерним јединицама Међународног система? Теоријски – да, међутим, неке утицајније државе попут САД или Велике Британије и даље нису у потпуности прихватиле овај универзални систем. Чак ни у науци, иако је по договору Међународни систем проглашен примарним.

Последице непрецизности

Ово за последицу има повећане ризике, било да је реч о великим научним истраживањима, или, пак, свакодневним здравственим методама. Здравствене институције ових земаља уврстиле су проблем претварања фунти у килограме међу десет најзначајнијих када је реч о заштити безбедности пацијената. Најчешће грешке које се јављају су погрешно израчунате дозе лекова на основу телесне масе. На њих утичу фактори људске рачунске грешке, али и рачунарске грешке које се дешавају углавном када је у електронском медицинском картону понуђено више од једне јединице мере.

Амерички Институт за безбедну употребу лекова је 1999. године објавио случај пацијента који је услед овакве грешке примио пола грама седатива када је потребна доза била више од петнаест пута нижа. Према статистикама, број оваквих грешака је из године у годину у порасту.

Једну од највећих материјалних последица оваквих неслагања доживела је Наса. Пре тачно осамнаест година, два инжењерска тима су с нестрпљењем чекала лансирање роботске свемирске сонде Марсов климатски орбитер. Први тим, смештен у Денверу, чинили су инжењери компаније Локид Мартин за израду свемирских летелица, а у другом, калифорнијском тиму, налазили су се Насини стручњаци. Почетак је био успешан. Првих неколико месеци све је ишло по плану.

Циљ експедиције је био проучавање климе, атмосфере и промена на површини Марса. Нешто касније, у свемир је послата и сонда Марсов поларни лендер, па је један од задатака климатског орбитера био и пренос података до којих је дошао лендер на црвеној планети.

Коначно, у септембру 1999. Марсов климатски орбитер се приближио Марсовој орбити. Међутим, уместо почетка правог истраживања, научници су тада изгубили сваки контакт са овом сондом.

Узрок је био сасвим мали. Екипа инжењера из Денвера користила је империјални систем јединица, док је НАСА рачунала у стандардним јединицама СИ система. Тако су фунте у секунди биле изједначене са њутном у секунди, што је узроковало немогућност размене навигационих информација међу ове две групе научника.

Сонда је послата предалеко и 23. септембра је изгубљена. Претпоставља се да је изгорела услед превеликог приближавања површини Марса. “Ефекат лептира” који је произвела ова експедиција коштао је агенцију НАСА 125 милиона долара.

*За илустрацију текста коришћена је слика Искрцавање Колумба, Џона Вандерлина

Текст: Слађана Шимрак

Иако се може рећи да је Мебијусова трака један од ретких математичких појмова који су широко препознатљиви и ван научних кругова, на њен облик се до сада веома ретко наилазило у природи, за разлику од, на пример, Фибоначијевих златних спирала. Међутим, два научна тима су недавно “поправила” ову њену позицију.

Физичари са Универзитета Јејл и Техничког универзитета у Бечу су независно једни од других, крајем јула у часопису Nature објавили сличне резултате у области физике таласа, а научници са Јејла су експерименталним путем утврдили појаву облика Мебијусове траке у преносу енергије између два вибрирајућа тела, што је довело до занимљивих последица.

Мебијусова трака је откривена средином деветнаестог века и до ње су, такође истовремено и независно, дошла два математичара: Јохан Листинг и Аугуст Фердинанд Мебијус. Врло брзо је стекла општу популарност. Један разлог за то је њен једноставан, али атрактиван и збуњујућ изглед. Најосновнију верзију Мебијусове траке можемо направити за неколико секунди. Довољно је да узмемо обичну папирну траку, увијемо једну страницу за 180 степени и спојимо је са наспрамном страницом. Сложенији облици добијају се већим бројем увијања траке, као и њеним уздужним сечењем 

За Мебијусово откриће траке везује се много анегдота. У неким круговима се помиње да је математичар Аугуст Фердинанд Мебијус на одмору патио због узнемиравања комараца, па је од лепљиве траке саставио замку овог облика. У наредних неколико дана проблем је био решен, а Мебијус је, посматрајући своју конструкцију уочио да она има само “једну страну”, а руб има само једну линију.

Поред ових лепих особина, Мебијусова трака је површ која је у својој математичкој основи дубоко апстрактна, а проналажењем њених математичких својстава бави се топологија. У том чистом теоријском смислу, није довољно прецизно прогласити је једностраном, узевши у обзир да површи немају дебљину нити стране, већ је исправније назвати Мебијусову траку неоријентисаном.

Други узрок популарности ове површи су дуборези холандског уметника Мориса Ешера. Како се у својим радовима често бавио геометријском перспективом и оптичким илузијама, прозвали су га “господаром треће димензије”. У првом раду који се зове Мебијусова трака И, приказао је три змије које једна другој гризу реп, а у другом, Мебијусова трака ИИ, неколико мрава који се крећу по траци, у једном потезу је обилазе “обе стране” и враћају се у почетну тачку.

Током година откривено је мноштво практичних примена Мебијусове траке. Неки од примера су Мебијусова филмска трака на којој се звук записује “са обе” стране, самочистећи филтери машина за хемијско чишћење, одређена хируршка помагала, али и врста ролеркостера у забавним парковима. Међутим, њени природни еквиваленти су се увек чинили “комадићима који недостају”.

Научници са Јејла су у свом експерименту користили две спојене опруге које су пуштали да вибрирају. Затим су, мењајући њихов облик, пратили кретање акустичних таласа који су се том приликом стварали, као и њихове фреквенције. Убрзо су уочили да се фреквенције мешају по шаблону који је налик увијању Мебијусове траке.

Научници су ово упоредили са свирањем гитаре и начином на који се затезањем чивија контролишу и мењају жичане вибрације, односно фреквенције које производе. Међутим, за прецизну контролу вибрација у експерименту је коришћен сложени ласерски систем, као и криогеничка расхладна комора за изолацију вибрација од различитих утицаја.

Ово откриће би, према речима физичара који су учествовали у истраживању, могло довести до развијања поузданих метода за управљање таласним сигналима у различитим областима физике – акустици, ласерској оптици, квантној механици.